Эйлер, Леонард

(Euler) — один из величайших математиков XVIII столетия; род. в 1707 г. в Базеле. Отец его, Павел Э., был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике, приобретенные под руководством Якова Бернулли (см.). Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но, сам интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения молодой Э. был отправлен отцом в Базель для слушания философии. Обладая отличной памятью, Э. скоро и легко усвоил себе этот предмет и нашел время поближе ознакомиться с тем, к чему его влекло призвание, т. е. с геометрией и математическими предметами. Профессор Иоанн Бернулли (см.) очень скоро обратил внимание на Э. и нашел в нем необыкновенный талант. Он предложил молодому человеку заниматься с ним отдельно, в особые часы, для разъяснения неясностей и затруднений, которые встречались в сочинениях, рекомендуемых профессором Э. для изучения. Получив в 1723 г. степень магистра после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона Э. по желанию отца своего приступил к изучению восточных языков и богословия. Способности его преодолели и эти предметы, но влечение к математическим наукам развивалось все более и более. Частые беседы с Иоанном Бернулли о вопросах математических в кругу семейства профессора дали Э. случай познакомиться с двумя сыновьями Иоанна, а именно Николаем и Даниилом Бернулли. Общее влечение к математике соединило их с Э. дружбой, и дружба эта повела Э. по новому пути. В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I во исполнение намерений Петра Великого. Уезжая, молодые Бернулли обещали Э. известить его, если найдется и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Э. найдется место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Э. немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая науки медицинского факультета, Э. находил время и для занятий по математическим предметам; за это время он написал напечатанную потом в 1727 г. в Базеле диссертацию о распространении звука ("Dissertatio physico de sono") и исследование по вопросу о размещении мачт на корабле ("Meditationes super problemate nautico de complantatione malorum"). Последнее, написанное на тему, предложенную Французской академией, было принято академией в 1727 г. как достойное премии и напечатано в изданиях ее. Ту же работу в качестве диссертации Э. защищал для получения профессуры по кафедре физики в Базельском университете. Занять место профессора ему здесь не удалось, и он отправился в Петербург, где по рекомендации академиков Германна и Даниила Бернулли был назначен адъюнктом Академии по математике и немедленно деятельно и прилежно стал работать, представляя Академии исследования по разным вопросам прикладной математики. Почти в день приезда Э. скончалась покровительница Академии императрица Екатерина I, и событие это печально отозвалось на судьбе Академии. Новые порядки и новое управление стали угрожать даже самому существованию молодого учреждения. Иностранным академикам пришлось подумывать о возвращении на родину. Э. решился принять сделанное ему предложение о поступлении в морскую службу. Адмирал Сиверс, предугадывая пользу, которую может принести флоту такой ученый, выхлопотал для Э. чин лейтенанта флота и обещал дальнейшее скорое повышение по службе. Однако вследствие выхода нескольких академиков и отъезда их на родину Э. предложили получить оставшееся вакантным место профессора физики, которое он и занял; затем в 1733 г. он был сделан академиком на место, оставшееся свободным после отъезда друга его Даниила Бернулли за границу. Обладая громадным талантом, Э. вместе с тем обладал необыкновенным трудолюбием; соединением этих двух качеств и объясняется многочисленность и полезность его трудов. В 1735 г. потребовалось в Академии выполнить одну весьма сложную работу. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Э. взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервной горячкой с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 г., появились два тома его аналитической механики ("Mechanica, sive motus scientia analyticе exposita", Petrop.). Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось, а существовавшие до этого времени трактаты были неудовлетворительны. В 1738 г. появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 г. — новая теория музыки ("Tentamen novae theoriae musicae, ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae", Petrop.). Затем в 1840 г. Э. написал сочинение о приливах и отливах морей ("Inquisitio physica in caussam fluxus et refluxus maris"), увенчанное одной третью премии Французской академии; две другие трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения их на ту же тему. Тома II, III, IV, V, VI, VII издания нашей академии "Commentarii Acad. sc. Petrop.", вышедшие до 1841 г., и том VIII, вышедший в этом году, заключают значительное число мемуаров Э. по различным вопросам чистой и прикладной математики. В 1740 г., по кончине императрицы Анны Иоанновны, началось регентство Бирона. В это жестокое для России время Э. получил приглашение от Фридриха Великого переехать в Берлин. Очевидно, что при приглашении этого приобретшего уже известность ученого имелось в виду оживить Берлинскую академию, пришедшую в упадок вследствие продолжительной войны. Поощренный вниманием короля, Э. собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной Королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 г. в томе VII "Miscellanea Berolinensis" он поместил 5 мемуаров, из них 4 по чистой математике, и из них последний ("De integratione aequationum differentialium altiorum graduum") замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами. Начиная с 1745 г., стали выходить мемуары возобновленной Королевской академии, по тому в год, и в этом издании в каждом томе, начиная с первого (1745 г.), находим от трех до девяти мемуаров Э. Так продолжалось до тома XXV-го 1769 г. и даже в 1772 и 1773 годах в новых мемуарах этой академии. Не желая прерывать сношений с петербургской академией, он находил множество материала для других мемуаров, которые наполняют тома от IX (1744 г.) до XIV (1751 г.) "Commentarii", затем от тома I (1750 г.) до тома XX (1776 г.) "Novi Commentarii Acad. sc. Petrop." и далее от тома I (1777) до тома IV (1780) издания "Nova acta Acad. sc. Petrop.". Кроме этого, Э., начиная с 1744 г., написал несколько больших сочинений, изданных отдельно. Так, в 1744 г. напечатано в Лозанне сочинение под заглавием "Methodus inveniendi lineas curvas maximi minime proprietate gaudentes, sive solutis problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti". Основным типом вопросов изопериметрических может служить вопрос об определении замкнутой кривой, которая при данном периметре заключает наименьшую площадь. Подобными вопросами интересовались и занимались геометры, современные Э., и некоторые геометры раньше Э. Вопросы такого рода требуют определения такой функции, чтобы некоторый интеграл, заключающий эту функцию под знаком интеграла, был бы наименьшим или наибольшим. При решении получается некоторое дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция. К числу изопериметрических вопросов относятся также вопросы об определении движения материальной системы при условии, чтобы интеграл, выражающий действие (см.), был наименьшим или наибольшим. Автор рассматривает все подобные вопросы и приводит их к вопросам об интегрировании дифференциальных уравнений. После него только изложение решения таких вопросов изменилось, но сущность метода осталась та же. В том же 1744 г. напечатаны в Берлине три сочинения о движении светил, первое — теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит их из нескольких наблюдений; второе и третье — о движении комет. По желанию короля Э. перевел с англ. яз. и в 1744 г. издал книгу "Neue Grundrisse der Artillerie von Robins", перевод, снабженный объяснениями и примечаниями Э. В сочинении Робинса, известного в истории артиллерии изобретателя баллистического маятника (см.), были приведены различные выводы по внешней и внутренней баллистике. Э. в своих примечаниях сначала выводит теоретически закон сопротивления в виде двучлена, первый член которого, пропорциональный квадрату скорости, обусловливается ударом снаряда (шарового) о воздух, второй член, пропорциональный четвертой степени скорости, обусловливается перевесом давления сжатых частей струй воздуха на переднюю часть над давлением разреженных частей струй на заднюю. Получаемые при этом законе формулы баллистики представляются в весьма сложном виде, неудобном для употребления. Позднее, в мемуаре "Recherches sur la véritable courbe que décrive les corps jetés dans l'air..." ("Mém. de Berlin", 1753) он ограничивается первым членом и получает формулы баллистики шарового снаряда, удобно применимые. В 1746 г. напечатаны три тома разных статей ("Varia Opuscula"), в числе которых, между прочим, находятся статьи по механике: решение вопроса о движении материальных точек, остающихся внутри движущегося канала, о возмущениях в движении планет и сопротивлении движению со стороны эфира, о движении гибких тел; по физике: "Recherches sur la nature des moindres particules des corps", "Sur la lumlère et couleurs", "Dissertatio de magnete". За теорию магнитных явлений, основанную на предположении о протекании эфира через промежутки между атомами, автор получил премию Французской академии. В 1748 г. издана в Лозанне книга в двух томах "Introductio in analysin infinitorum" v.1 и v.2, упрочившая славу Э. как первостепенного математика. Почти все то, что преподается и теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находится в этой книге. В первом томе ее с необыкновенной ясностью и простотой изложены свойства функций рациональных и трансцендентных: тригонометрических, круговых, показательных и логарифмических, разложение последних в ряды, представление их в виде бесконечных произведений; свойства непрерывных дробей. Во втором томе аналитическое исследование кривых линий вообще и кривых второго, третьего и четвертого порядка и поверхностей второго порядка. В 4-й главе этой части выведены формулы преобразования координат прямоугольных в прямоугольные же при перемене начала координат и направления осей; здесь впервые вводятся те три угла, которые называются Эйлеровыми углами и играют в кинематике твердого тела существенную роль. В 1749 г. издана в Петербурге в двух томах "Scientia navalis, seu tractatus de constructione ac dirigendis navibus". Это полное и систематическое сочинение по навигации, заключающее в себе теорию равновесия и устойчивости судов, рассмотрение вопросов о качке на зыби, о форме судов и кораблестроении, о движении судов силой ветра и управлении судном. Сочинению этому предшествовали некоторые мемуары автора в разных ученых изданиях, из которых два были увенчаны премиями Франц. академии. От короля и от императрицы автор получил за это сочинение значительные денежные награды. Оно было переведено на языки итальянский, английский и русский. В 1773 г., когда Э. был уже в Петербурге, сочинение это было издано в более понятном для моряков изложении под заглавием "Théorie complète de la construction et des manoevres des vaisseaux". В 1755 г. в Берлине издано было в двух томах сочинение "Institutiones calculi differentialis, cum eius usi in analysi finitorum ac doctrina serierum". Книга эта заключает в себе систематическое и полное изложение оснований дифференциального исчисления и применений его к учению о рядах, к решению уравнений, к нахождению наибольших и наименьших значений функций, к раскрытию неопределенных выражений. Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Э. издал в 1762 г. сочинение "Constructio lentium objectivarum ex duplici vitro" (Petrop.), в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Доллонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Э., построил первые ахроматические объективы. В 1765 г. механика Э. была дополнена сочинением "Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Rostoch.", в котором находятся те дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела. Много написал Э. мемуаров об изгибе и колебании упругих стержней; эти вопросы были также одним из предметов исследований Даниила Бернулли. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении. Один из таких вопросов есть вопрос о так назыв. продольном изгибе, рассматриваемый в мемуаре "Sur la force des colonnes", помещенном в томе XIII (1759 г.) мемуаров Берлинской академии. К числу весьма важных для практической механики предметов, которыми занимался Э., относится предложенное им очертание зубцов по разверткам круга, об этом говорится в статьях томов V и ХI "Novi Соmment. Acad. Petrop.". Фридрих Великий, вполне оценивший гениальный талант и обширные познания великого геометра, давал ему поручения чисто инженерного характера; так, в 1749 г. он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелем и Одером и указать необходимые исправления в недостатках этого водного пути; далее поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси. По поводу этого появилось немало статей по гидравлике, написанных Э. в разное время. Биографы Э. утверждают, что он очень желал вернуться в Россию. В 1766 г. он получил через посла в Берлине, князя Долгорукова, приглашение имп. Екатерины II вернуться в академию наук на всяких условиях, каких бы Э. ни пожелал. Несмотря на уговоры остаться, делавшиеся со стороны особ королевского дома, он принял приглашение и в июне месяце прибыл в Петербург. Только что он поселился в доме, купленном для него на счет императрицы, как подвергся тяжкой болезни, после которой потерял зрение левого глаза вследствие образования катаракты. Благодаря услугам окружающих его лиц и сыновей его Э., несмотря на потерю зрения, при своих гениальных способностях и замечательной памяти диктовал свои дальнейшие мемуары и издавал отдельные свои книги. К числу последних принадлежит "Institutionum calculi integralis", изданная в Петербурге в 1768—70 гг. в трех томах и переизданная в 1792—94 гг., после смерти автора, в 4-х томах. Эта замечательная книга заключает в себе решение множества вопросов точного или приближенного интегрирования дифференциальных уравнений обыкновенных разных степеней и порядков и дифференциальных уравнений с частными производными, а кроме того, здесь же находится и вариационное исчисление. В 1770 г. издано введение в алгебру, в 1769—71 гг. — "Dioptrica" в трех томах. В 1772 г. — "Theoria motuum Lunae". За сочинение "Théorie de la Lune et spécialement sur l'equation séculaire", напечатанное в 1770 г., автор получил премию Французской академии. По гидродинамике автор написал более двадцати мемуаров. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности и давления называются гидродинамическими уравнениями Эйлера. Э. принадлежит доказательство соотношения между числом вершин, ребер и граней многогранника. Соотношение это такое: сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение подозревал Декарт, но Э. доказал его в мемуарах: 1) "Elementa doctrinae solidorum"; 2) "Demonstratio nonullarum insignium proprietatum..." (оба в IV томе "Novi Comment. Petrop."). Э. принадлежит весьма много мемуаров по теории чисел. В них он доказал многие свойства чисел, данные раньше его без доказательства. Так, он доказал и обобщил известную в теории сравнений теорему Фермата. Он также доказал, что всякое простое число вида (4n + 1) всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел. С 1769 по 1783 г. Э. написал около 380 статей и сочинений. Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Э. были таковы, что в 1773 г., когда сгорел его дом и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастия продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист барон Вентцель произвел операцию снятия катаракты, но Э. не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно. В 1783 г. Э. скончался от апоплексического удара в присутствии своих помощников при работах проф. Крафта и Лекселя. Похоронен он в Петербурге на Смоленском кладбище. Три сына его и их дети остались в России. Самым лучшим памятником его славы и научной деятельности было бы полное издание всех его статей и сочинений, число которых простирается до 756, но для этого потребуются значительные средства, так как число печатных листов будет около 2000. Биографиями Э. могут служить: "Eloge de M. Leonard Euler par N. Fuss" (СПб., 1782; здесь список сочинений и статей Э.: "L'introduction a l'analyse des infiniment petits de M. Euler, traduit du latin par M. Pezzi, précédé l'eloge de M. Euler par de Condorcet" (Страсбург, 1786). Очерк некоторых сочинений и статей Э. находится в книге "Vorlesungen über Geschichte der Mathematik von Moritz Cantor" (Лпц., Teubner, тт. I, 11, 1900; III, 1898.

Д. Бобылев.

Брокгауз и Ефрон, 86 т.

* * *

Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, — 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720—24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.

В кон. 1726 Э. был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 приехал в Петербург. В только что организованной академии Э. нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Э. подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

Э. участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. изд. 1738—40, рус. пер. ч. 1—2, 1740). По специальному поручению академии Э. подготовил к печати «Морскую науку» (ч. 1—2, 1749) — фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

В 1741 Э. принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Э. занял пост директора класса математики и член правления, а после смерти её первого президента П.Л. Мопертюи несколько лет (с 1759) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

Живя в Берлине, Э. не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М.В. Ломоносовым, которого высоко ценил. Э. редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в «Мемуарах» Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С.К. Котельников, С.Я. Румовский и М. Софронов. Большую помощь Э. оказывал Петербургской АН, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.

17(28) июля 1766 Э. вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Э. продолжал участвовать и в организационной работе академии. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.П. Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.

Заслуги Э. как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других.

Одна из отличительных сторон творчества Э. — его исключительная продуктивность. Только при жизни Э. было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Э. содержит примерно 850 назв.). В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Э., которое завершено в 1975; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Э. (около 3000 писем), до сих пор опубликована лишь частично.

Необыкновенно широк был круг занятий Э., охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Около ³/₅ работ Э. относится к математике, остальные ²/₅ преимущественно к её приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Э. систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т. 1—2, 1736), «Введение в анализ» (т. 1—2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твёрдого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т. 1—2, 1768—69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т. 1—3, 1768—70, т. 4, 1794) и др. В 18 в., а отчасти и в 19 в. огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч. 1—3, 1768—74), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Э. вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Э., из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем.

В «Механике» Э. впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м — движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твёрдого тела» Э. разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Э. внёс ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Э. в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Э. и в т. н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Э. дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Э. придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Э. предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчёта оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Э. посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, спец. функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Э. содержатся именно в этих работах.

Главным делом Э. как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Я. и И. Бернулли. Так, Э. первый ввёл функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т. 1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Э. в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.

Э. явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). После работ Ж. Лагранжа Э. далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Э. в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала — уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления 20 в. Э. создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значит. часть этих результатов Э. собрал в своём «Интегральном исчислении».

Э. обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Э. высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Э. получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т. н. формулу суммирования Эйлера — Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Э. по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.

Э. является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классического разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

По замечанию П.Л. Чебышева, Э. положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Э. Так, Э. доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма, разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Э. впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл дзета-функцию и доказал т. н. тождество Э., связывающее простые числа со всеми натуральными.

Велики заслуги Э. и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т. н. тождество Э. о четырёх квадратах. Э. значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К.Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Э. занимался и отд. вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Э. — математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и p). Однако Э. был не только исключительной силы «вычислителем». Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

По выражению П.С. Лапласа, Э. явился учителем математиков 2-й половины 18 в. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж, Г. Монж, А.М. Лежандр, К.Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Э., а деятели чебышевской школы видели в Э. своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.

Соч.: Opera omnia... Series 1 — Opera mathematica, v. 1—29, Lausannae, 1911—56, Series 2 — Opera mechanica et astronomica, v. 1—30, В. — Lpz., 1912—74, Series 3—Opera physica, Miscellanae epistolae, v. 1—12, Lausannae, 1911—73, Series 4—Commercium epistolicum, v. 1, 1975; в рус. пер. — Универсальная арифметика, т. 1—2, СПБ, 1768— 1769; Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации..., СПБ, 1778; Введение в анализ бесконечных, т. 1—2, М., 1961; Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, М. — Л., 1934; Основы динамики точки, М. — Л., 1938; Новая теория движения Луны, Л., 1934; Дифференциальное исчисление, М. — Л., 1949; Интегральное исчисление, т. 1—3, М., 1956—1958; Избранные картографические статьи, М., 1959.

Лит.: Erneström G., Verzeichnis der Schriften Leonard Eulers, Lfg 1—2, Lpz., 1910—13 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker—Vereinigung. Ergänzungsband 4, Lfg 1—2) [лит.]; Fuss N., Eloge de monsieur Léonard Euler..., St. Pb., 1783 (лит.); в рус. пер. — Похвальная речь покойному Леонарду Эйлеру..., в кн.: Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний Академии наук, под заглавием: Nova Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, ч. 1, СПБ, 1801; Симонов Н. И., Прикладные методы анализа у Эйлера, М., 1957; Леонард Эйлер. Сб. ст., М., 1958; Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук СССР, т. 1, М. — Л., 1962; Юшкевич А. П., История математики в России до 1917 года, М., 1968.

БСЭ.3-е изд.

* * *

Книги Леонарда Эйлера (Дифференциальное исчисление. (1949); Введение в анализ бесконечно малых. Том 1. (1961); Введение в анализ бесконечно малых. Том 2. (1962); Интегральное исчисление. Том 1. (1956); Интегральное исчисление. Том 2. (1957); Интегральное исчисление. Том 3. (1958))