Аль-Фараби

КОММЕНТАРИИ К "АЛЬМАГЕСТУ" ПТОЛЕМЕЯ

Вступительная статья А. Кубесова

Аль-Фараби и его обработки «Альмагеста»

Абу Наср аль-Фараби, 1100-летие которого отмечается в 1975 г. во всем мире, был не только великим философом-мыслителем, но и одним из крупнейших ученых-энциклопедистов своего времени.

Исследование научного наследия аль-Фараби имеет многовековую историю, однако его научные труды изучены далеко не полностью. В особенности это относится к его трудам астрономического содержания. Последние исследования, проведенные в АН КазССР по выяснению заслуг аль-Фараби в развитии науки, показывают, что он был выдающимся астрономом.

В своей классификации наук аль-Фараби по сложившейся традиции считает астрономию математической наукой. В «Перечислении наук», определяя предмет астрономии, он относит астрологические предсказания к ремеслам и считает истинной наукой только наблюдательную и математическую астрономию [1, стр. 26—27].

В знаменитом трактате «Что правильно и что неправильно в приговорах звезд» на основе законов логики и достижений естествознания аль-Фараби излагает свою концепцию на предмет науки о небесных светилах. Он одним из первых на Востоке подвергает уничтожающей критике юдициарную астрологию, согласно которой земные дела и события управляются различными расположениями небесных светил, ремесло астрологов квалифицирует как занятие, лишенное всяких научных основ, опирающееся преимущественно на субъективно-психологические моменты восприятия отдельных людей. В противоположность астрологии отдает предпочтение истинно научному способу познания Вселенной, т. е. астрономии, и предлагает изучать астрономические явления с широким привлечением математических методов [2, стр. 214—217]. Критика астрологических предсказаний, начатая в этом трактате, впоследствии развивалась такими крупнейшими учеными, как аль-Бируни (973—1050), Ибн Сина (980—1037), Роджер Бэкон (1214— 1294).

В астрономическом наследии аль-Фараби большое место занимают его обработки «Альмагеста» Птолемея (II в.).

Как известно, исходным моментом для развития астрономии в странах Ближнего и Среднего Востока был «Альмагест» Птолемея, переведенный с греческого на арабский язык в начале IX в. В дальнейшем эта работа комментировалась и перерабатывалась (836—901) аль-Баттани (850—929), аль-Фараби (ок. 870—950), Абу-Вафой (940—998), аль-Бируни, Насир ад-Дином ат-Туси (1202— 1274) и др.

«Альмагест» Птолемея — энциклопедическое сочинение по астрономии — состоит из 13 книг¹. Первые две книги трактуют об общих принципах птолемеевской астрономии, о суточном движении небесной сферы, о главных движениях Солнца, Луны и планет, а также о некоторых явлениях, связанных с небесной сферой и ее движением (продолжительность дня и время восхода и заката светил в различных широтах земного шара); здесь же приводятся тригонометрические сведения, необходимые в астрономических вычислениях, а также таблицы хорд (или равных удвоенным линиям синусов) через каждые 1/2° до 180°.

Третья книга «Альмагеста» посвящена продолжительности года и теории Солнца, четвертая — продолжительности месяца и теории движения Луны. В пятой книге приводится подробное рассуждение о лунном параллаксе и о расстояниях Солнца и Луны. В шестой книге говорится о затмениях Солнца и Луны. В седьмой и восьмой книгах содержится звездный каталог, заключающий в себе 1028 звезд и описание прецессии.

Последние пять книг содержат теорию движения пяти планет (Меркурий, Венера, Марс, Сатурн, Юпитер).

Большой интерес для истории науки представляет научный метод, по которому был построен «Альмагест». В известной мере нам кажется справедливым тезис о том, что Птолемей, который специально не занимался методологическими вопросами естественных наук, оставил методологию «Альмагеста». На всем протяжении этого сочинения последовательно проводится весьма плодотворная для естественных наук идея, согласно которой сначала изобретаются временные гипотезы, из них выводятся математические следствия, последние сравниваются с результатами наблюдений. Методологию Гиппарха и Птолемея, на наш взгляд, полностью освоил и развил дальше аль-Фараби, что оказало решающее влияние на открытое провозглашение им экспериментально-теоретического метода исследования природы и построения научных теорий [2, стр. 169—174].

В «Альмагесте» содержится богатый математический материал, относящийся преимущественно к тригонометрическим и алгебраическим методам, из которого впоследствии исходили многие математики Востока, в том числе аль-Фараби [4, стр. 200—204]. Птолемею принадлежит еще ряд трактатов: «География», «Гармоника», «Оптика», «Тетрабиблос» и др. Аль-Фараби был хорошо знаком почти со всеми сочинениями Птолемея, некоторые из них он подверг тщательной обработке. Детальное изучение научной преемственности между этими корифеями науки античности и средневековья является одной из важнейших задач историков науки и философии.

Аль-Фараби был одним из первых комментаторов «Альмагеста» на средневековом Востоке. Его „Комментарии к «Альмагесту»" (Шарх аль-Маджисти), к которым примыкает «Книга приложений» (Китаб ал-Лавахик), сохранились в единственной рукописи, хранящейся в Британском музее (Лондон, № 7368). Оба эти трактата до сих пор не издавались ни на одном языке и почти не исследовались.

„Комментарии к «Альмагесту»" аль-Фараби составил на основе сокращения и переработки текста Птолемея. Поэтому автор иногда называет их «Сокращенным Альмагестом» (Мухтасар аль-Маджисти), свои добавления и примечания он особо оговаривает.

В предисловии „Комментариев к «Альмагесту»" аль-Фараби о своих планах работы над «Альмагестом» пишет: «Мы теперь в состоянии изложить все части созданной великим Птолемеем книги «Альмагест» об астрономической науке. При этом мы будем следовать его словам, за исключением редких случаев, где мы излагаем некоторые методы, предложенные нашими современниками. Наши [собственные] исследования приведены в «Книге приложений».

Мы старались сделать это сочинение по возможности более понятным. С этой целью мы опустили вычисления и разъясняем только доказательства. Желающий может проверить эти вычисления. Мы не будем упоминать даты каждого наблюдения, а ограничимся указанием [промежутков времени] между каждыми двумя наблюдениями. Что касается таблиц, то кто хочет поместить их в нашей книге, пусть так и сделает, а если захочет, пусть сократит их. Мы решили не повторять многократно предложения, общие для нескольких светил, так как между этими светилами много общего как в математическом, так и астрономическом отношении. В «Альмагесте» они повторяются, так как их вычисления различны» [стр. 47—48].

Из этого вытекает, что „Комментарии к «Альмагесту»" написаны аль-Фараби прежде всего как учебно-педагогическое сочинение, построенное на основе, существенно отличающейся от установки Птолемея при составлении «Альмагеста».

Птолемей в своем «Альмагесте» в каждом случае стремится дать численные характеристики исследуемых астрономических явлений на основе применения теоретических математических методов к числовым данным, полученным эмпирическим путем, т. е. путем наблюдений. Он начинает с определенной геометрической предпосылки, из которой затем выводит арифметические следствия. Тем самым Птолемей делает принципиальный шаг вперед по пути теоретизации (геометризации) по сравнению со своими восточными предшественниками и современниками, применявшими в астрономии исключительно арифметические методы без каких-либо геометрических моделей.

Аль-Фараби в этом направлении пошел еще дальше, оперируя исключительно геометрическими моделями и предпосылками в исследовании астрономических соотношений. У него числовые данные либо совсем отсутствуют, либо встречаются как редкий рудимент, пережиток метода изложения «Альмагеста». Его интересует в основном, известна или не известна искомая величина; при этом аль-Фараби доводит до ранга терминов слова «известная» (ма'лум) и «неизвестная» (маджхул); метод изложения у него алгебраический, что достигается с помощью широкого введения тригонометрических функций (линий) и расширения понятия числа до положительного действительного числа. Благодаря этому теоретико-методическому приему не только значительно сокращается объем комментируемого сочинения, но, что особенно важно, сам излагаемый материал становится намного понятнее читателям.

В работе аль-Фараби много добавлений и усовершенствований методического характера. Например, в отличие от Птолемея движения планет он по возможности изучает совместно, так как, по его мнению, «у светил много общего как в астрономическом, так и в математическом отношении». «Комментарии» аль-Фараби являются выдающимся образцом методического мастерства средневековья и заслуживают специального рассмотрения в этом плане. Следуя своему принципу изложения, аль-Фараби в «Комментариях» объясняет принципы составления многочисленных астрономических таблиц по Птолемею, встречающихся в «Альмагесте», но самих таблиц не приводит. Хотя он не задается целью сделать какие-либо существенные отклонения от содержания «Альмагеста» Птолемея, тем не менее мы здесь встречаем ряд новых добавлений и примечаний астрономического и математического характера, отражающих результаты его собственных исследований, а также достижений арабских предшественников и современников, например ученых Академии аль-Мамуна. Чтобы ясно представить структуру и особенности изложения комментариев, необходимо вкратце остановиться на содержании этого сочинения аль-Фараби.

Первая книга „Комментариев" посвящена изложению содержания первой книги «Альмагеста» Птолемея. Она начинается с подробного изложения общих положений Птолемея, предпосланных указанному сочинению, а именно: о том, что небо имеет сферическую форму и сферическое движение; что Земля имеет вид сферы и что она расположена в центре всего неба; что величина Земли по сравнению с небом неощутимо мала; что Земля не имеет никакого движения; что в небе существуют два различных вида первых движений.

Относительно положения Птолемея о том, что Земля не совершает никакого вращательного движения, аль-Фараби замечает, что он в своей «Физике» дал другое доказательство невозможности движения Земли.

Какова суть этого доказательства — не известно, однако в «Каноне Мас'уда» аль-Бируни имеется одно доказательство невозможности вращения Земли вокруг своей оси, основанное на физических аргументах [5, 272—273]. Может быть, это и есть доказательство аль-Фараби? Категорически ответить на этот вопрос, по крайней мере сейчас, представляется невозможным.

Кстати заметить, что и в «Перечислении наук» аль-Фараби утверждает, «что Земля в целом не движется ни со своего места, ни на своем месте» [1, стр. 27]. Таким образом, он придерживается общепринятых в то время догм геоцентрической системы Птолемея, согласно которой Земля считалась неподвижно покоящейся в центре мира, а все небесные светила движущимися вокруг нее.

Однако аль-Фараби в других трактатах то в явной, то в неявной форме высказывает мнение об относительности знаний о Вселенной, сомневается в правильности отдельных тезисов, утверждений, укоренившихся в астрономии того времени. Например, в указанном выше астрологическом трактате он открыто признается, что ему небесная гармония известна не в такой степени, как музыкальная. Система мелодий и система созвездий «условны, а не даны природой, где совершенно нет изменения и естественного противоречия» [1 стр. 297].

Здесь, по-видимому, аль-Фараби критикует Птолемея, который в своем «Учении о гармонии» вслед за пифагорейцами утверждал взаимосвязь между музыкальной и небесной гармонией. Затем он подробно излагает способ определения хорд в круге. При этом, следуя своему принципу, в отличие от Птолемея не приводит числовых данных, числовых вычислений и таблиц хорд Птолемея, однако объясняет способ построения этих таблиц. Здесь аль-Фараби несколько совершенствует тригонометрический аппарат Птолемея для облегчения понимания трудных математических выкладок, имеющихся в этом труде. Прежде всего он везде заменяет хорды синусами: «Синус есть половина удвоенной хорды». Это одно из первых известных нам введений синуса при комментировании «Альмагеста».

Аль-Фараби далее высказывает лемму, равносильную плоской теореме синусов для произвольного вписанного треугольника, и доказывает ее для вписанного прямоугольного треугольника. Следуя Менелаю и Птолемею, он приводит предпосылки об определении двух дуг по сумме или разности и отношению удвоенных полухорд этих дуг. При доказательстве предпосылки об определении дуг по их разности он приводит случай, когда хорда разности двух дуг параллельна диаметру. Этот случай, когда диаметр сферы параллелен одной из хорд сторон фигуры секущих, лежащих в плоскости диаметра, отсутствует у Менелая. Далее аль-Фараби дает ряд разъяснений сущности составления отношений. Рассмотрение составных отношений в дальнейшем получает большое развитие в сочинениях последующих математиков. Сферическую теорему о секущих аль-Фараби доказывает как Менелай, рассматривая три случая, а не как Птолемей, который ограничился только одним. При доказательстве ее он, следуя Птолемею, останавливается на измерении дуги, заключенной между тропиками, с помощью особых инструментов — кольца на шесте и стенного квадранта, затем дает сведения из сферической тригонометрии. При этом замечает, что это продолжение и дополнение геометрических сведений, приведенных выше в связи с составлением таблиц хорд.

Следует особо отметить, что аль-Фараби, проводя арифметические операции над составными отношениями, выражающими теорему Менелая, фактически рассматривает каждое отношение тригонометрических линий как число. Обобщая метод Птолемея по вычитанию одного числового отношения из другого, он пишет: «Для легкого способа отбрасывания отношения от отношения мы требуем два числа, которые были бы не больше и не меньше его, тогда отношение одного к другому — как одно из двух отношений, остающихся [при отбрасывании] из него, и находится третье число: затем рассматриваем отношение этого третьего числа ко второму из двух первых чисел, которые не больше и не меньше его. Если нет отношения, то [имеем отношение] к другому; это отношение двух неизвестных» [см. стр. 98].

Здесь, по-видимому, аль-Фараби для каждого из трех отношений тригонометрических линий старается найти определенное число и произвести арифметические действия над этими числами. В его обработках часто встречаем выражения «число линий», «количество величины». При этом он систематически использует арифметические термины. Так, в «Книге приложений», решая простейшие тригонометрические и алгебраические уравнения, аль-Фараби свободно умножает и делит число на тригонометрические линии. В связи с этим, на наш взгляд, большой интерес представляет одна тригонометрическая теорема, использованная им при определении «уравнения дня», которая гласит: «Произведение каждого числа на тангенс дуги равно делению этого числа на котангенс той же дуги» [6, стр. 194].

Доказательство этой теоремы требует введения единичного тригонометрического круга и рассмотрения каждой тригонометрической линии как числа.

Идея расширения понятия числа до положительного действительного числа имелась потенциально в «Альмагесте» Птолемея. По утверждению И.Г. Башмаковой [7], в «Альмагесте» и в греческих комментариях к нему достаточно явно выступает идея пополнения области чисел так, чтобы каждое отношение величин могло быть выражено числом. Первым осуществлением этого было расширение числа до положительных вещественных чисел. Птолемей применил и вполне адекватный аналитический аппарат для выражения этих чисел — шестидесятеричные дроби. Аль-Фараби в своих обработках «Альмагеста» и в других трудах развивает это начинание до более высокой ступени, что является большой заслугой ученого в истории математики и ее приложений [2, стр. 157—164]. Эти его попытки расширить понятие числа в дальнейшем были успешно развиты аль-Бируни, Омаром Хайямом (1048—1123) и др.

Таким образом, улучшив несколько математический аппарат «Альмагеста», аль-Фараби объясняет способы определения дуги между равноденственным кругом и эклиптикой и восхождений на прямой сфере. Во втором случае он значительно дополняет объяснения Птолемея и обобщает его рассуждения относительно восхождения в прямой сфере на случай восхождения в наклонной сфере.

Вторая книга «Комментариев» аль-Фараби начинается так же, как у Птолемея, с изложения обитаемой части Земли вообще. Затем он, следуя Птолемею, приводит способы определения по заданной величине наибольшего дня дуги горизонта, отсекаемой небесным экватором и наклонным кругом, и высоты полюса; далее на основании изложенного определяются отношения гномонов к полуденным теням во времена равноденствия и солнцестояний. В последнем случае в изложении аль-Фараби имеются некоторые улучшения в методическом плане. В отличие от Птолемея, он доказывает независимость этих отношений от длины и положения гномона. Мы полагаем, что именно это обстоятельство позволило ему в «Книге приложений» определить линии тангенсов, то есть обращенной тени гномона, котангенса, или плоской тени гномона, как отрезки касательных к кругу с радиусом, равным гномону, т. е. 60 частям [1,стр. 73—74].

Представлениями гномоники в дальнейшем успешно пользовался аль-Бируни, который не только тангенс и котангенс, но и секанс и косеканс рассматривал в гномонике как стороны прямоугольного треугольника; под дугой круга он понимает также высоту Солнца [8, стр. 59—60].

Далее аль-Фараби весьма бегло перечисляет характерные особенности, параллели, приведенные Птолемеем, и на свой манер, лаконично излагает метод Птолемея по определению восхождения в наклонной сфере, включая сюда частные вопросы, связанные с восходами, способы нахождения углов, образуемых наклонным кругом и горизонтом. Он в ряде мест предполагает о возможном существовании населенной части Земли и за пределами «обитаемой четверти», указанной Птолемеем: «Что касается того, какие страны и какие местности там, то, когда Птолемей писал «Альмагест», он не знал об этом и сказал: то, что говорят об этом, является предположением. Позднее он узнал о некоторых и включил их в [свою] «Географию» [см. стр. 114].

По-видимому, аль-Фараби сам много размышлял над этим вопросом, что видно из следующих его высказываний: «Относительно широты мы не нашли никаких обитаемых местностей, для которых при двух равноденствиях тени гномона в середине дня были бы направлены к югу. Возможно, кто-нибудь другой после нас найдет то, чего мы не смогли найти», или в «в частности мы говорили много по этому поводу; это можно найти в моих книгах по естествознанию» [см. стр. 102, 103, 114].

Следует заметить, что в своих естественнонаучных сочинениях Аристотель также высказывал предположения о существовании на юге экватора земель, близких по своим климатическим условиям к землям северного полушария.

Таким образом, мы видим, что аль-Фараби стоял на передовой позиции в распределении стран по географическим климатам. Как известно, почти все средневековые ученые до него не в состоянии были отойти от традиции античной географии и считали населенной только «обитаемую четверть». Они предполагали, в частности, что жить южнее первой параллели, т. е. экватора, невозможно. Позднее, как бы подтверждая предположение аль-Фараби, аль-Бируни научно доказывает обитаемость островов у берегов Африки, расположенных южнее экватора [8, стр. 193—194].

Во второй книге аль-Фараби неоднократно ссылается на «Географию» Птолемея, что подтверждает близкое его знакомство с этим крупным географическим сочинением античности.

В комментариях к третьей книге «Альмагеста» аль-Фараби подробно объясняет рассуждения Птолемея о годовом промежутке времени. Однако он при этом делает существенное дополнение. Логически обобщая рассуждения Птолемея по определению среднего движения Солнца, он дает универсальное определение среднего движения планет и приводит общий метод его нахождения. «Среднее движение — это такое действительное или предполагаемое движение, при котором [светило] за равное время [проходит] одинаковые [дуги]. Это движение светила по предположению происходит в соответствующей ему небесной сфере, охватывающей Землю. Оно свойственно или самому светилу, или сферическому телу, несущему светило и передвигающему его вдоль эклиптики благодаря своему движению. За равные времена оно проходит равные дуги, а центральные углы при центре, [стягиваемые] этими дугами, равны. Это называется равномерным движением... Среднее движение — промежуточное между наименьшим и наибольшим [движениями]...

Истинное движение — это такое движение, которое [фактически] находится по отношению к эклиптике» [см. стр. 156—157].

Останавливаясь далее подробно на методе определения среднего движения светил, он в конце пишет: «Первое, что требуется для определения среднего движения, — это возвращение к одной и той же неподвижной точке или к точкам, между которыми имеются равные дуги. Если оно найдено, то для определения среднего движения ограничимся этим. В противном случае потребуем другой род, затем третий, как будет показано в надлежащем месте». После установления временной величины года он останавливается на гипотезах Птолемея относительно равномерного и кругового движения Солнца, Луны и планет — на гипотезе эксцентритета и гипотезе эпицикла и доказывает три условия, при выполнении которых наблюдаемые явления будут одинаковыми при каждой из них.

Далее аль-Фараби весьма подробно объясняет теорию неравенств Солнца, приведенную Птолемеем. При этом он подтверждает важное открытие, сделанное арабскими предшественниками (астрономами мамуновской обсерватории), об изменении долготы апогея Солнца, что является его важной заслугой в теории Солнца. Он пишет: «Птолемей утверждал, что апогей Солнца неподвижен и не перемещается. Что касается позднейших [ученых], то наблюдения, проведенные во времена Мамуна тем же методом, показали, что апогей Солнца отклоняется от места, указанного Гиппархом, по отношению к движению неподвижных звезд. Это же установили и мы по своим наблюдениям, произведенным после [начала] сочинения этой книги» [см. стр. 194].

Последнее свидетельство аль-Фараби показывает, что он был и превосходным практиком-наблюдателем.

Как известно, в данном вопросе Птолемей допустил ошибку: он принял неизменной долготу апогея Солнца. На самом деле она постепенно увеличивается, что впервые было установлено среднеазиатским астрономом Халидом аль-Мервурриди, участвовавшим в историческом измерении величины Земли в дни Халифа аль-Мамуна (IX в.). Правильность такого предположения, на наш взгляд, подтверждается данными аль-Бируни в «Каноне Мас'уда», где он приводит результаты Халида аль-Мервурриди и других измерений долготы апогея Солнца [8, стр. 107—108] и приведенным свидетельством аль-Фараби.

Следует отметить, до сих пор в литературе это открытие приписывалось аль-Баттани (850—929), что не совсем точно.

После изложения принципа составления таблиц неравенства Солнца на отдельных участках эклиптики аль-Фараби комментирует рассуждения Птолемея об эпохе среднего движения Солнца, о неравенстве суток.

В комментариях к четвертой книге «Альмагеста» аль-Фараби излагает содержание глав о том, на каких наблюдениях следует строить теорию движения Луны, о периодах лунных движений, о частных значениях средних

движений Луны. Затем, следуя за Птолемеем, он доказывает положение о том, что при простой гипотезе о движении Луны, будь она гипотезой эксцентритета или эпицикла, видимые явления будут одинаковыми. Перед определением первого и простого лунного неравенства аль-Фараби вносит важное дополнение к Птолемею. Прежде чем предложить способ определения первого и простого неравенства Луны, он приводит предпосылки, которые служат теоретико-методической базой в нахождении положения Луны и ее аномалии через наблюдение в двух группах по три затмения, приведенные в дальнейшем Птолемеем.

Аль-Фараби указывает на третье неравенство Луны, которое возникает за счет движения Луны не по эклиптике, а по собственной орбите. Он правильно полагает, что Птолемей не учитывал его из-за малой широты Луны.

После этого аль-Фараби, следуя Птолемею, подробно объясняет способ определения первого и простого лунного неравенства и вкратце излагает содержание глав, посвященных исправлению движений Луны по долготе и аномалии и их эпохе, исправлению движений Луны по широте и их эпохе; затем останавливается на том, что разница в принятой Гиппархом величине лунного неравенства получается не от различия сделанных предположений, а вследствие вычисления.

Комментарии к пятой книге аль-Фараби, как и Птолемей, начинает с описания устройства армиллярной сферы, затем излагает гипотезу для объяснения двойного неравенства Луны. После этого он переходит к определению величины Луны, зависящей от положения относительно Солнца, и величины отношения для эксцентритета лунного круга. Более подробно он комментирует главы, посвященные наклонности эпицикла Луны. Затем он объясняет принцип составления таблиц для полных неравенств Луны, не приводя самих таблиц (по своей установке) и способ вычисления движения Луны в целом.

После доказательства положения Птолемея о том, что эксцентрический круг не производит никакой заметной разницы в сизигиях, аль-Фараби объясняет параллаксы Луны и переходит к определению расстояний Луны и величин видимых диаметров Солнца, Луны и земной тени в сизигиях. При определении расстояния Солнца он доказывает предпосылку о том, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований, которая отсутствует в «Альмагесте», но на эту теорему Птолемей ссылается, считая ее известной; в «Началах» Евклида этого предложения нет.

После объяснения содержания главы о частных значениях параллаксов Солнца и Луны аль-Фараби останавливается на составлении таблиц параллаксов и определении величины параллактического смещения Луны для любого ее положения. Здесь он делает Птолемею существенное дополнение методического характера.

В этой книге на основе метода Птолемея вычисления числовых значений параллаксов он делает, на наш взгляд, важное обобщение: открыто вводит понятие «число линии» в единицах выбранного отрезка линии. Это является важным шагом в развитии понятия действительного числа.

В комментариях к шестой книге [6, стр. 97—116] аль-Фараби сначала останавливается на описании таблиц средних сизигий и определении периодических и истинных сизигий, после чего излагает содержание глав, посвященных затмениям Солнца и Луны, промежуткам между ними, а также составлению таблиц затмений. Он дает разъяснение методам вычисления лунных и солнечных затмений, вносит добавление Птолемея, рассматривая случай, когда Луна расположена на экваторе [6, стр. 113].

В комментариях к седьмой книге «Альмагеста» [6, стр. 116—118] аль-Фараби в очень сжатой форме излагает сведения Птолемея о том, что неподвижные звезды всегда сохраняют одно и то же положение по отношению друг к ДРУГУ, говорит о движении сферы неподвижных звезд и его направлении, а также о способе составления каталога неподвижных звезд.

В девятой книге „Комментариев" [6, стр. 122—152] аль-Фараби в отличие от Птолемея, рассмотревшего в отдельности теорию движения каждой из пяти планет — Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна, — излагает их аналогичные свойства по возможности параллельно (суммарно). Таким образом, в этой книге отражено содержание девятой, десятой и одиннадцатой книг «Альмагеста» Птолемея.

В связи с этим следует заметить, что и в знаменитом трактате Н. Коперника «О вращениях небесных сфер» теория движения планет рассматривается в основном только в пятой книге, тогда как каждой из теорий движения Солнца и Луны посвящена самостоятельная книга [9].

Аль-Фараби сначала излагает последовательность расположения сфер Солнца, Луны и пяти планет, периодического возвращения этих планет. Затем он останавливается на основных положениях гипотез о пяти планетах и на характере их различия. После этого приводит способы определения апогеев Меркурия, Венеры и их перемещения. Здесь же изложены методы нахождения отношения эксцентритетов и эпициклов Меркурия и Венеры, а затем разъясняется рассуждение Птолемея о том, что планета Меркурий в течение одного оборота дважды становится в ближайшем к Земле положении. Аль-Фараби здесь же излагает методы исправлений периодических движений Меркурия и Венеры и переходит к рассмотрению теории движений остальных трех планет на основе эксцентрической гипотезы. Он дает метод определения трех верхних планет — Марса, Юпитера и Сатурна, а также определяет величины их эпициклов, после чего переходит к изложению способа исправлений периодических движений указанных планет. Далее он останавливается на том, каким образом по периодическим движениям определяются геометрически истинные положения планет, а также на принципе составления таблиц их аномалий. Книга заканчивается кратким изложением способа вычисления долготы пяти планет. В комментариях к двенадцатой книге «Альмагеста» [6, стр. 152—166] аль-Фараби сначала рассматривает предварительные положения, касающиеся прямых и попятных движений каждой из пяти планет — Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия, затем вкратце останавливается на построении таблиц противостояний планет и приводит метод определения наибольших отклонений Венеры и Меркурия от Солнца.

В комментариях к последней, тринадцатой книге «Альмагеста» [6, стр. 203—214] аль-Фараби рассматривает следующие вопросы: гипотезы относительно движения пяти планет по широте; характер изменений и величина инклинаций и обликваций для каждой планеты; составление таблицы для отдельных движений по широте пяти планет; о том, что особенности восходов Венеры и Меркурия согласуются с принятыми гипотезами; метод определения расстояний планет от Солнца.

В приложении к «Комментариям» [6, стр. 214—218] для облегчения некоторых задач математической астрономии приведено доказательство предложения, заменяющего «Теорему о секущих», которое эквивалентно теореме синусов для сферического прямоугольного треугольника.

Забегая несколько вперед, скажем, что аль-Фараби в «Книге приложений» одним из первых в истории математики доказывает как самостоятельное предложение и теорему тангенсов для прямоугольного сферического треугольника. Открытия часто приписывались Абу-л-Вафе. Правда, частные случаи этих теорем рассматривались и в «Альмагесте». Например, сферическая теорема синусов в виде приема решения конкретной задачи использовалась в 14 главе I книги «Альмагеста», а сферическая теорема тангенсов — аналогично в 16 главе [10, стр. 552—553].

Птолемей не рассматривает их как математические теоремы и поэтому, естественно, не дает их непосредственного доказательства.

Эти открытия аль-Фараби и других ученых Востока сыграли чрезвычайно важную роль в формировании тригонометрии как отдельной отрасли математики.

В самом конце «Комментариев» имеется отметка, из которой видно, что она переписана в 628 г. хиджры, в последней десятидневке месяца Рамазана, в г. Дамаске. Эта дата по современному летоисчислению соответствует последней декаде июля 1231 г.

Комментарии аль-Фараби к «Альмагесту» сыграли важную роль в освоении восточными учеными наследия Птолемея. Свидетельством этого является тот факт, что Ибн Сина целиком включил их в астрономический раздел своей энциклопедии «Книга исцелений». Следует отметить, что аль-Фараби был автором не дошедшего до нас большого энциклопедического труда «Второе учение» (от-Та'-лим ас-сани), состоявшего из двадцати частей. Структура этого сочинения, по-видимому, близка к структуре указанного энциклопедического труда Ибн Сины, который средневековые историки науки рассматривали как сокращение «Второго учения». Большая близость между „Комментариями к «Альмагесту»" аль-Фараби и астрономической частью «Книги исцеления» позволяет предположить, что эти «Комментарии» наряду с «Большой книгой музыки» и сводом логических сочинений представляют собой сохранившиеся части (обрывки) этого грандиозного энциклопедического произведения аль-Фараби [2, стр. 16].

Другой трактат аль-Фараби, связанный с «Альмагестом», как мы уже выше отмечали, носит название «Книга приложений». Это подлинный арсенал формул тригонометрии и математической астрономии. В нем автор еще более математизирует содержание «Альмагеста», все задачи решаются чисто геометро-алгебраическими средствами. Именно здесь (26 глава) он одним из первых выделяет и доказывает как особые предложения сферические теоремы синусов и тангенсов для прямоугольного треугольника. При этом аль-Фараби постоянно прибегает к своеобразной сокращенной записи данных и хода математических рассуждений.

«Книга приложений» состоит из глав, каждая из которых, как правило, освещает один конкретный вопрос, посвященный решению в общем виде той или иной задачи астрономии и географии. Главы оформлены в виде геометрических предложений наподобие «Начал» Евклида.

В сохранившихся главах «Книги приложений» (она обрывается на 59 главе, в рукописи отсутствуют некоторые главы), кроме чисто тригонометрических вопросов (первые 14 глав), рассматривается ряд основных проблем математической астрономии и математической географии, такие, как определение уравнения Солнца, первого и второго уравнения Луны; изучение изменения видимого радиуса эпицикла Луны и планет; вычисление пропорциональных минут для таблиц небесных светил; нахождение первого уравнения Меркурия; определение первых уравнений других планет, широты Луны, первого склонения, прямого восхождения, второго склонения, широты местности, расстояния (азимута) восхода, высоты светил по данному азимуту и азимута по высоте, уравнения дня, восхождения в данной местности, предела высоты Солнца и других светил, половины дуги дня Солнца, затмений Луны и Солнца, определение расстояния Луны от Земли и параллакса Луны и др.

Аль-Фараби в этом труде свои математические достижения применяет для решения конкретных задач астрономии в основном через решение различных плоских и сферических треугольников. Если Птолемей ограничивался рассмотрением частного случая решения задач, то аль-Фараби его как бы обобщает.

Новизна применяемых при этом математических методов аль-Фараби состоит как в широком применении тригонометрических функций на основе расширения понятия числа, так и в общем подходе к решению поставленных задач. Он, по существу, решает ряд простейших алгебраических и тригонометрических уравнений, полученных с помощью геометрических и тригонометрических отношений между линиями и углами в круге, при этом в изобилии оперирует различными сложными функциями сферической астрономии, которые выражаются в виде комбинаций основных тригонометрических функций.

Некоторые сведения о содержании этого труда можно получить в работе [2]. Приведем лишь один пример, который демонстрирует творческое отношение ученого к астрономо-математическому наследию Птолемея.

На основе установленных функциональных зависимостей между вторыми уравнениями Луны и планет, с одной стороны, и углами, взятыми в качестве аргументов, — с другой, аль-Фараби построил свою теорию интерполяции таблиц движения светил. В этой теории важное значение имеет метод определения так называемых пропорциональных минут, для нахождения которых он предлагает ряд правил. Показывая на конкретных примерах практику вычислений этих коэффициентов, он пишет: «Вот это мы получили на основании того, что было в «Альмагесте», и того, что мы сами приводили на основании доказательств и вычислений. Что касается таблиц, то в них получаются некоторые расхождения между данными вычислений о величине разности при максимальном и минимальном расстояниях и [наблюденными] положениями светил в этих граничных местах. Это расхождение заметнее и больше для Марса, а для пяти планет меньше. Я не знаю причину этого» [6, стр. 170].

Здесь аль-Фараби, по-видимому, сомневается в правильности принципов, на которых были построены указанные таблицы. Тем самым он как бы ставит вопрос об истинных причинах кажущегося положения явлений, связанных с движениями небесных светил. Нельзя не отметить также обнаруженный им факт более резкого расхождения данных теории и наблюдений относительно описания движения Марса, так как именно эти предельные уклонения в долготах и радиусах-векторах Марса были одним из тех самых источников, из которых выросла (спустя 700 лет· после аль-Фараби) благодаря знаменитым исследованиям Кеплера теория истинного эллиптического движения планет. Это открытие аль-Фараби вполне согласуется с постулатом об условности и относительности знания о Вселенной и показывает правильность и плодотворность его методологической установки об экспериментально-математическом изучении природы.

Как было отмечено, „Комментарии к «Альмагесту»" и «Книга приложений» аль-Фараби изучаются впервые. Однако уже предварительное сравнение их содержания с «Альмагестом» Абу-л-Вафы позволяет определенно высказать предположение о преемственной связи в этих трудах и влиянии аль-Фараби на астрономическое творчество великого хорасанского ученого. Наши исследования позволяют высказать гипотезу о том, что многие формулы «Книги приложений» служили основой, математическим аппаратом знаменитых таблиц астрономической школы Улугбека [11, стр. 156—274].

Несомненно, что обработки аль-Фараби «Альмагеста» еще не раз будут предметом изучения у историков средневековой науки. Наши исследования мы считаем первым шагом в освоении довольно богатого астрономического наследия мыслителя. Однако уже приведенный обзор трактатов астрономического содержания аль-Фараби показывает, что он был не только крупным теоретиком астрономии своей эпохи, но и превосходным практиком-наблюдателем, сыгравшим большую роль в развитии астрономии средневекового Востока.

Наш перевод осуществлен по указанному выше единственному списку „Комментариев к «Альмагесту»". В данном издании включены первые пять книг «Комментариев». В примечаниях широко привлечены выдержки из самого «Альмагеста», в частности, приведены все математические и астрономические таблицы. При этом мы воспользовались неопубликованным переводом «Альмагеста» с греческого на русский язык профессора И.Н. Веселовского. Из-за отсутствия русского издания этого классического сочинения естествознания древности считаем, что такой материал будет для читателей небесполезным.

Весьма возможны неточности и разночтения при переводе, допущенные из-за плохого состояния рукописи, а также из-за недостаточной квалификации переводчиков.

В переводе арабских буквенных обозначений в тексте и при чертежах мы придерживались общепринятой в Советском Союзе транскрипции арабского алфавита. В случае пропусков в тексте или при необходимости добавления слов для лучшего понимания эти слова помещаются в квадратных скобках, а таблицы из «Альмагеста» выделены мелким шрифтом. На полях перевода отмечены страницы упомянутой рукописи из фонда Британского музея (на сайте это красные цифры — Ю.Г.).

Комментарии

1 Этот труд Птолемея еще не издан на русском языке. Мы в дальнейшем ссылаемся на немецкий перевод [3].