§ 3. Создание первой универсальной математической модели мира на основе принципа геоцентризма. Птолемей

Начатое Гиппархом точное математическое описание (на основе геоцентризма) движений небесных тел было развито и завершено в системе мира великого александрийского астронома и математика Клавдия Птолемея (ок. 87—165). Он был также географом, оптиком, изобрел два новых угломерных инструмента для измерения высоты в меридиане (известный в позднелатинском переводе как «трикветрум» — тройная линейка) и для измерения эклиптических широты и долготы — «астролябон» (название дано Птолемеем). Первый стал предшественником степенного квадранта второй — армиллярной сферы (но не астролябии!). Птолемей развил математический аппарат астрономии — сферическую тригонометрию и вычислил таблицу синусов от 0° до 180° через каждые 0,5° (еще в виде таблицы хорд). Он первым стал изучать перемещения планет и по широте.

Фундаментальный труд Птолемея «Математическое сочинение» (или «Большое сочинение», точнее «построение» — по греч. «Мегале синтаксис», откуда и произошло искаженное «Альмагест»)¹ в 13 книгах (главах) еще в древности получил широчайшую известность. Его справедливо относят к числу немногих наиболее важных книг, созданных за всю историю науки.

Астрономию Птолемей определял как «математическое изучение неба» (тогда как Аристотель назвал ее «наиболее физической из математических наук»). Аристотелем заканчивалась эпоха первого глобального подхода к изучению Космоса и природы, когда еще жила надежда с помощью имеющихся средств понять не только движение, но и сущность небесных тел. С Гиппарха — Птолемея начинается эпоха разумного ограничения цели и выделения более четкого и реалистического направления исследований в астрономии. Таким направлением становилась небесная кинематика. Это был первый шаг к формированию новой, дифференцированной науки.

Рассмотрим кратко содержание «Альмагеста».

В книге I содержатся основные постулаты астрономии Птолемея: о шарообразности Земли, о сферичности и вращении небесного свода, о центральном положении Земли во Вселенной и о неподвижности Земли. Эти постулаты Птолемей рассматривал не как априорные положения, а как предположения, наиболее хорошо, иногда по-новому обоснованные среди альтернативных. Таким новым аргументом было для него, например, увеличение при подъеме на гору обозреваемой площади Земли как свидетельство ее шарообразности.

Понимая, что наблюдаемое движение небесного свода может иметь относительный характер и объясняться вращением Земли, Птолемей приводит физико-космологические аргументы в пользу геоцентризма и неподвижности Земли: огненная природа и, следовательно, большая подвижность звезд по сравнению с огромной тяжелой Землей; неизбежность отбрасывания незакрепленных предметов центробежной силой с поверхности вращающейся Земли и отставания находящихся над ней, в воздухе, облаков, птиц, брошенных вверх предметов. Все они должны были бы относиться в сторону, противоположную вращению.

В принципе Птолемей был прав. Если бы не колоссальная масса Земли, по сравнению со всеми находящимися на ней предметами, то все незакрепленные тела действительно были бы отброшены в пространство. В ожидавшейся картине «отставания» от вращающейся Земли тел, брошенных вверх (камни) или уже находящихся в воздухе (облака), Птолемей ошибался лишь в отношении облаков, которые как элемент атмосферы имеют ту же линейную скорость вращения, что и окружающая их область атмосферы. (Но для Птолемея и его предшественников Землю окружала «мировая среда», не связанная с ней в своем движении, отчего, кроме всего прочего, ожидался еще и сильнейший ветер при вращении Земли.) Камни же, сохраняющие скорость места своего «старта», действительно отставали бы при бросании их вверх, или опережали бы вращающуюся Землю при бросании их вниз (например, в глубокую шахту, что и наблюдал в первом количественном опыте по доказательству вращения Земли в 1804 г. И. Бенценберг).

Таким образом, критически рассмотрев и «старую» (400-летней давности тогда!) гелиоцентрическую идею Аристарха Самосского, Птолемей отверг ее как умозрительную, не подтверждающуюся наблюдениями. Птолемей не прибег, однако, к известному аргументу более поздних противников гелиоцентризма, выступивших против системы Коперника, — указанию на ненаблюдаемость параллактических смещений звезд. Вслед за Аристотелем, Аристархом и Архимедом Птолемей считал размеры и, следовательно, расстояние звездной сферы чудовищно громадными по сравнению с размерами Земли (о чем ко времени Коперника было забыто).

В Книгах I и II содержится также описание математического аппарата, используемого Птолемеем; с помощью плоской и сферической тригонометрии решаются задачи о продолжительности дня и времени восхода и захода разных звезд в зависимости от широты места; излагаются закономерности в поведении светил: суточное вращение небесной (звездной) сферы, главные движения Солнца, Луны и планет.

В Книге III излагается, по Гиппарху, теория неравномерного движения Солнца и вопрос о длине года и его сезонов. Здесь же Птолемей из повторных, менее точных, как мы видели, результатов Гиппарха «выводит» прецессию в 1° за 100 лет, т. е. 36″ в год!

В Книге IV Птоломей улучшает теорию движения Луны, обнаружив расхождения выводов Гиппарха с тем, что он получил сам из сравнения вавилонских наблюдений лунных затмений в VIII в. до н. э. и своих собственных. Птолемей уточнил длину аномалистического и драконического месяцев, установил период попятного движения лунных узлов (в 6796,26 суток, — 18,5 лет) и прямого движения апогея Луны (3231,62 суток).

Усложнив модель лунного движения Гиппарха (движения по эксцентрику), Птолемей ввел дополнительное движение Луны по эпициклу, а центр деферента (гиппархова эксцентрика) «заставил» обращаться вокруг Земли, что позволило предвычислять положения Луны с ошибкой меньше 10′! Благодаря этому Птолемей сделал свое главное наблюдательное открытие: нового неравенства Луны (эвекция), заподозренного еще Гиппархом. Для более точного описания наблюдаемого движения Луны Птолемей ввел также небольшое колебание лунного эпицикла («просневзис»).

В Книге V описан «астролябон», приведены определения параллаксов Луны (с помощью трикветрума) и Солнца (на основании данных о затмениях, методом Гиппарха). Для расстояния Луны Птолемей получил результат от 39 до 59 радиусов Земли (в его модели с эпициклом оно сильно менялось), для Солнца — 1210 (что совпало с оценкой Гиппарха). Измерив с помощью трикветрума высоту Луны в момент ее наибольшей широты, Птолемей определил наклон лунной орбиты (в 5,0°).

В Книге VI Птолемей на основании теории движения Луны изложил свою улучшенную теорию затмений. Вместе с тем сразу же проявилась и ограниченность возможностей теории эпициклов: в течение месяца лунный диск согласно этой модели должен был почти вдвое изменять свой видимый поперечник (из-за отмеченного изменения расстояния Луны от Земли), чего не наблюдается. Последнее Птолемей не принимал во внимание, ограничившись решением главной тогда задачи — определения угловых расстояний небесных тел без попытки раскрыть истинное их распределение в пространстве.

В Книгах VII и VIII приведен звездный каталог Гиппарха — Птолемея. Птолемей дополнил список Гиппарха наблюдениями Менелая Александрийского и Агриппы (I в.) и своими собственными, проведенными в 127—151 гг., доведя число объектов до 1025.

Положения звезд из каталога Гиппарха Птолемей, по-видимому, большей частью перевычислил на свою эпоху, приняв для прецессии 36″ в год.

Наконец, Книги IX—XIII содержат важнейший, фундаментальный и, несомненно, оригинальный вклад Птолемея в астрономию — теорию движения планет. Ее основой стали наблюдения Гиппарха (определения средних периодов обращения планет), Менелая Александрийского и других, а также собственные наблюдения Птолемея. Теория Птолемея была грандиозным успехом человеческой мысли в математическом анализе явлений природы. Хотя еще Платон наметил программу и дал метод такого анализа — разложение сложного на простые геометрические элементы, почти шесть веков задача в отношении планет считалась едва ли разрешимой. Принятие принципа неподвижности Земли заставляло сложную картину видимых планетных движений относить на счет самих планет. Математик Птолемей блестяще справился с этой задачей. Неравномерные и петлеобразные видимые движения планет он представил как результат сложения равномерных круговых движений по эпициклам, центры которых в свою очередь равномерно же двигались по деферентам, а последние к тому же были еще и эксцентриками по отношению к физическому центру мира — Земле. Движение каждой планеты моделировалось с помощью целой системы деферентов и эпициклов, так что каждый следующий эпицикл служил деферентом для более «высокого» эпицикла. Подбирались относительные размеры и наклоны эпициклов к эклиптике и к своим деферентам, чтобы лучше согласовать модель с наблюдением².

Но наиболее эффективной оказалась одна особая деталь модели. Мало того, что центр основного деферента планеты не совпадал с центром Земли. Такие, немного «сбитые» с центра Вселенной орбиты-эксцентрики, введенные Гиппархом, могли восприниматься лишь как некое незначительное отступление, практически не нарушавшее общего строя и порядка физической Вселенной Аристотеля³. В новой модели Птолемея движение по деференту представлялось равномерным не из его собственного геометрического центра, а из особой точки, симметричной с центром Земли относительно центра деферента (рис. 11, в). Эту точку (а нередко и окружность вокруг нее) назвали эквантом (лат. — уравнивающий). Таким образом, в системе Птолемея (рис. 11, г) с введением экванта отступление от Аристотеля было серьезнее (чем при введении эксцентриков): нарушался принцип разложения движения небесных тел на истинно равномерные круговые (у Птолемея движение оказывалось неравномерным в принципе, т. е. относительно собственного центра круга!).

А вместе с тем выгода была налицо. На основе своей теории Птолемей составил первые в истории астрономии планетные таблицы, по которым положение планеты вычислялось с той же, как для Солнца и Луны, высокой по тем временам точностью 10′! Недаром слава Птолемея держалась во всем мире полторы тысячи лет.

Иная судьба была у экванта — подлинно гениального изобретения Птолемея. Многим последующим астрономам-геоцентристам он казался лишь искусственной деталью, усложнявшей и без того громоздкое построение. Но главное, в нем увидели (и справедливо!) отступление от космологии, вернее, от физической картины мира Аристотеля. Поэтому введение экванта критиковалось, а сам он был отвергнут рядом крупных космологов-геоцентристов, стремившихся улучшить теорию Птолемея.

В действительности, как показали недавние исследования, эквант был введен Птолемеем под жестким давлением фактов, чтобы согласовать теорию с движением наиболее «строптивой» планеты Марса. Главной задачей Птолемея было описать для каждой планеты набор дуг ее наиболее загадочных, попятных, движений (их величи́ны и распределение на небесной сфере) в течение периода обращения планеты. И только у Марса величины этих дуг существенно (в два раза!) различались близ апогея и перигея деферента и явно не вписывались в обычную эпициклическую модель. Введение экванта разрешило проблему: отразило эти различия, дополнительно ускорив видимое движение планеты в перигее и замедлив его в апогее.

Сравнительные расчеты с помощью ЭВМ движения Марса за период 1971—1984 гг. в геоцентрической модели без экванта и с эквантом показали поразительную близость даваемых последней моделью результатов с движением Марса в современной гелиоцентрической модели. Таким образом, Марс (о который в свое время «споткнулся» еще Евдокс и который «подтолкнул» на новые идеи Аристарха) сыграл решающую роль и для Птолемея (как это, спустя полторы тысячи лет, произошло и с Кеплером). По существу, эквант позволил весьма точно отразить некруговое эллиптическое (т. е. истинное!) кеплерово движение (его второй закон), хотя и в геоцентрической, так сказать, перевернутой интерпретации. Введение экванта свидетельствовало о величайшей изобретательности человеческого ума, способного даже в таком перевернутом виде весьма точно отобразить действительность. (Вместе с тем это показало одну коварную особенность процесса познания: возможность неоднозначного отображения действительности в теории для данного уровня точности наблюдений и опыта.)

Птолемей дал первый пример того, как исследователь, совершенствуя начальную приближенную теорию, подходит под давлением фактов к такому моменту, когда упрямые факты заставляют его выйти за пределы привычной картины мира. Такие «нарушения» и становятся предпосылками далеких грядущих революций в науке.

В модели Птолемея впервые проявились и признаки системности: все планеты подчинялись общему, хотя и непонятному в рамках геоцентризма, закону — радиусы-векторы у всех верхних планет в первом (нижнем) эпицикле оказывались параллельными радиусу-вектору Земля — Солнце; движение по первому эпициклу для верхних планет и по деференту для нижних имело одинаковый годичный, т. е. равный солнечному период.

Подведем итоги. В своем труде Птолемей значительно усовершенствовал математический аппарат астрономии — сферическую тригонометрию. В течение столетий использовались вычисленные им таблицы синусов. Он улучшил гиппархову теорию Луны и создал полную математическую теорию всех известных тогда видимых движений планет. В конструкции Птолемея нашла реализацию и наиболее прямое выражение поразительная по своей глубине мысль Платона — объяснять сложные явления методом разложения их на простые правильные элементы, делающие эти явления доступными для описания на языке математики (которую в дальнейшем два других гения — Леонардо да Винчи, а за ним Галилей назовут «языком Природы»).

Вместе с тем в концепции Птолемея, быть может, именно благодаря ее полноте, явственно обнаружились существенно различающиеся пределы справедливости, с одной стороны, общей идеи, а с другой — конкретной программы Платона в качестве основ астрономической картины мира. Идея — изучать сложное через разложение на простые элементы — дожила до наших дней и продолжает «работать». Но ее конкретизация в виде программы — свести все движения небесных тел (видимые) к круговым и равномерным (как истинным) — оказалась неоправданно «безграничной» экстраполяцией весьма частного вида движений и потому была отвергнута дальнейшим ходом развития науки (уже к началу XVII в.). Под давлением фактов уже сам Птолемей отступил от этой программы многозначительным введением экванта. Так, в недрах геоцентрической теории по мере ее совершенствования закладывались предпосылки ее будущего краха.

Теория Птолемея получила широкую известность⁴ и произвела огромное впечатление не только на его современников. В последующие века, начиная с III в., ее изучали в учебных заведениях, комментировали. Попав (еще до гибели Александрийского научного центра в VII в.) в Индию, а оттуда, к VIII в., к арабским астрономам и математикам, «Альмагест» в арабском переводе достиг в IX в. Европы. Здесь теория Птолемея после ее освоения и препарирования богословами безраздельно господствовала вплоть до XVI в.

Вместе с тем теория Птолемея как весьма точное по тем временам математическое описание движений Солнца, Луны и планет, способная предвычислять астрономические явления, в течение многих столетий обеспечивала нужды практической вычислительной астрономии, способствовала развитию мореходства и торговли в значительной степени стимулировала и обеспечила великие географические открытия.

Примечания

1. «Мегале синтаксис» было превращено арабами в «Аль Маджисти» (от греч. «Мегистэ» — Величайшее).

2. Размеры эпициклов (по крайней мере первых) определялись из наблюдений — по максимальному отклонению планеты в квадратурах (т. е. в «точках» смены прямого движения на попятное). Деференты планет считались «колеблющимися» — изменяющими наклон к эклиптике, а для внутренних планет и Марса Птолемей вынужден был допустить аналогичное «качание» еще и плоскостей их эпициклов относительно «своего» деферента.

3. В таком допущении проявилось первое вынужденное признание «возмущенных» центров круговых орбит, которые в принципе физически должны были быть гомоцентрическими.

4. По некоторым сведениям [31, с. 91], Птолемей изложил свою планетную теорию также и в отдельном сочинении «О планетных гипотезах», а кроме того обнародовал соответствующие планетные таблицы в виде «посвятительной надписи», которая была установлена им, по обычаю того времени, на площади в египетском городе Канопе.