Теория возмущений

Научные работы Лапласа трудно рассматривать в хронологическом порядке. К основным темам своих исследований он возвращался неоднократно на протяжении нескольких десятилетий, уточняя, проверяя и обобщая полученные им результаты. Некоторые его ранние исследования опубликованы лишь в его поздней капитальной работе «Небесная механика», печатавшейся на протяжении четверти века.

Первая крупная работа Лапласа, напечатанная в 1773 г. (когда ее автору было только двадцать четыре года), касается труднейшего вопроса, перед которым опустили руки его предшественники — Эйлер, Клеро и молодой Лагранж. Делю шло о примирении теории тяготения Ньютона с неправильностями в движении двух самых крупных планет солнечной системы — Юпитера и Сатурна. Эти неправильности обнаруживались уже давно, но никто не мог дать им точного объяснения, ввести их в рамки известных законов природы.

Ряд последующих работ Лапласа затрагивает другие важные вопросы небесной механики; с ними в основном он справился уже к 1785 г., когда ему исполнилось всего тридцать пять лет и он только что был «причислен к лику» пенсионеров-академиков. В последующие годы Лаплас обобщал и подытоживал свои выводы, тщательно укладывая их, как кирпичи, в общее стройное здание астрономии. В это же время много внимания уделял он другим вопросам, в особенности теории вероятностей.

Издание томов «Небесной механики» началось в эпоху Консульства и закончилось при Реставрации.

Как указывалось, главной целью научной работы Лапласа было доказать, что законом тяготения можно объяснить все движения небесных тел — как те, при изучении которых он был выведен, так и те, которые на первых порах казались противоречащими ему. «Потомство, — писал Лаплас, — вероятно, с благодарностью увидит, что новейшие геометры не передали ему ни одного астрономического явления, не определив его законов и причины». Лучшим из геометров, о которых говорит Лаплас, был, конечно, он сам, и его успех породил в нем глубокую уверенность в абсолютной правильности закона тяготения.

«Когда я выяснил эти неравенства (в движении Юпитера и Сатурна) и определил с большим вниманием, чем это делалось до сих пор, те, которые были уже вычислены, я убедился, что все наблюдения, древние и современные, представлены моей теорией во всей их точности. Прежде они казались необъяснимыми при помощи закона всемирного тяготения; теперь же они служат одним из наиболее ярких его подтверждений. Такова судьба этого блестящего открытия: всякое затруднение, которое возникало тут, превращалось в его торжество, и это является вернейшим признаком его соответствия истинной системе природы».

Многие из уклонений в движении планет, интересовавшие Лапласа, можно обнаружить только по прошествии очень длительных промежутков времени. Таких же периодов, часто превышающих возраст телескопической астрономии, требовала проверка некоторых теорий Лапласа на практике. Поэтому Лаплас живо интересовался развитием практической астрономии и для своих работ заказывал специальные переводы с греческого, индийских и даже китайского языков, если находил в сочинениях древних авторов наблюдения, которые могли принести ему пользу. Несмотря на грубость методов и неточность результатов, ценность этих наблюдений была велика именно благодаря их древности, — астрономия своими корнями уходит в глубокое прошлое, а ветви ее тянутся к далекому будущему...

При исследовании отклонений в движении планет от законов Кеплера Лапласу приходилось учитывать взаимодействие не двух тел, а трех или даже больше. Например, Луна движется вокруг Земли, а притяжение Солнца, возмущает это движение. Сатурн движется вокруг Солнца, но его движение нарушается притяжением других планет, главным образом Юпитера. Лаплас интересовался как возможностью теоретически предсказать на ближайшее время положение планет, т. е. составить их эфемериды или таблицы непосредственно для практиков, так и возможностью предсказать наиболее отдаленное будущее Солнечной системы в целом и ее членов. В XVIII столетии лишь зародилась новая идея эволюции, выдвинутая самим Лапласом в результате его занятий небесной механикой и изучения работ В. Гершеля. В высказываниях многих ученых еще господствовало представление об изначальной неизменности Вселенной, вытекающее из религиозных догматов. Лучшие умы того времени, например Эйлер, убеждаясь в изменчивости природы и сталкиваясь с трудностью предсказать ее законы, оказывались в тупике и впадали в мистицизм.

Как же мог, однако, Лаплас объяснить движения многочисленных непокорных детей солнечной семьи, непрестанно тревожащих друг друга? Ведь проблема трех, а тем более многих тел практически не разрешена в общем виде и до сих пор.

К счастью, в Солнечной системе существует ряд особенностей, значительно упрощающих для нее решение проблемы многих тел. Эти особенности привлекли внимание Лапласа и позволили ему впоследствии создать свою знаменитую космогоническую гипотезу.

Бездны пространства, отделяющие планеты и Солнце друг от друга, позволяют при математической трактовке движения считать эти тела материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах. Поскольку масса Солнца гораздо больше массы всех планет, вместе взятых, взаимодействие планет лишь незначительно отклоняет их движение от движения вокруг Солнца по законам Кеплера. Орбиты планет имеют малые эксцентриситеты и близки к кругам, поэтому не только столкновения их, но и близкие встречи в настоящее время невозможны. Плоскости движения всех планет почти совпадают с плоскостью эклиптики (наклонения орбит невелики).

При таких условиях проблема движения многих тел Солнечной системы может быть разрешена приближенными методами. Необходимо, однако, найти эти приближенные методы и доказать, что точность, которую дает их применение, все время находится под контролем исследователя. Лаплас совместно с Лагранжем создал так называемые классические методы небесной механики, вдохновлявшие и вдохновляющие до сих пор многие поколения механиков неба.

Возмущения в движении планет были представлены в классической небесной механике формулами, содержащими бесконечные ряды очень сложных членов. Простейшим примером бесконечного ряда членов является известная из алгебры бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Нельзя думать, что метод, применяющий бесконечные ряды, — единственный и других быть не может. Это только следствие несовершенного состояния математического анализа, но хорошо уже то, что при всей громоздкости метода рядов Лаплас сумел извлечь из него поразительные результаты.

В рядах, какими пользовался Лаплас, величина членов постепенно убывает, быстро или медленно. Если можно доказать, например, для убывающей геометрической прогрессии, что сумма членов ряда конечна, и если ее нельзя вычислить точно, то можно ограничиться суммированием первых, самых больших членов ряда, пренебрегая остальными. В небесной механике каждый член ряда выражается сложной формулой, поэтому не всегда можно строго доказать законность подобного приближения. В некоторых случаях может быть, что где-нибудь далеко от начала ряда, в особенности при некоторых особых условиях, член такого ряда окажется настолько большим, что пренебречь им — означало бы получить совсем неверный результат. Рядам можно придавать различную форму, и от неудачного выражения ряда может зависеть результат. До Лапласа бывали случаи, когда разные ученые приходили к неодинаковым результатам из-за одного лишь различия в виде формул, которыми они пользовались. Кроме совершенствования чисто математической стороны дела, известным средством для проверки правильности использования этого приема может служить практика, даже современная эпохе создания теории. Лаплас говорит: «Чрезвычайная трудность задач, относящихся к системе мира, принудила геометров прибегнуть к приближениям, при которых всегда можно опасаться, как бы отбрасываемые величины не оказали заметного влияния. Когда наблюдения указывали им на такое влияние, они снова обращались к их анализу; при проверке всегда находили причину замеченных отклонений; они определяли их закон, открывая неравенства, которые еще не были указаны наблюдениями. Таким образом, можно сказать, что сама природа содействовала аналитическому совершенствованию теорий, основанных на принципе всемирного тяготения».

В работе, названной «О принципе всемирного тяготения и о вековых неравенствах планет, которые от него зависят» (1773), Лаплас рассматривает замеченное до него явление «беспорядка» в движении гигантских планет. При сравнении древнейших наблюдений с современными выяснилось, что Сатурн двигался с явным замедлением, а Юпитер испытывал ускорение своего движения. Лаплас погрузился в изучение задачи, оказавшейся неразрешимой и для Эйлера, и для Лагранжа, — по крайней мере, они пришли к прямо противоположным выводам.

Представляя возмущения в движении планет бесконечными рядами членов, создатели небесной механики убедились, что члены таких рядов бывают двух видов. В одних время, рассматриваемое как переменная величина, входит множителем в некоторой степени, в других же оказывается под знаком так называемой периодической функции (встречаются, впрочем, и члены смешанного вида). Первые из этих членов называются вековыми, вторые — периодическими. Если в формуле, выражающей изменения в величине какого-нибудь элемента, характеризующего определенную орбиту, есть только периодические члены, этот элемент испытывает лишь периодические колебания, не выходя из известных пределов. Например, в этом случае наклон плоскости орбиты планеты к плоскости эклиптики то увеличивается, то уменьшается, но никогда не становится очень большим. Если в формуле содержатся вековые члены, то данный элемент с течением времени будет изменяться постоянно в одном и том же направлении. Например, линия узлов планетной орбиты будет непрерывно вертеться около Солнца, все время в одну и ту же сторону, или будет непрерывно расти размер орбиты.

В 1773 г. Лаплас применил ряды к исследованию движения Юпитера и Сатурна, пользуясь в усовершенствованной форме методом, предложенным Лагранжем (в 1766 г.). При этом Лаплас доказал, что Эйлер и Лагранж, вычисляя свои ряды, отбросили такие члены, которые нельзя было отбрасывать, ибо их величина с течением времени становилась не меньше той, какую давали первые члены рядов. Таким образом, Лаплас получил более точные формулы, и когда он подставил в них соответствующие числа для Юпитера и Сатурна, то оказалось, что, благодаря учету новых членов ряда, вековые ускорения для этих планет пропали. Это доказывало, что ускорения, наблюдаемые в движении Юпитера и Сатурна, являются не вековыми, а периодическими, хотя и имеющими, по-видимому, очень длинный период, измеряемый не одним столетием.

В 1784 г., через десять с лишним лет, Лаплас снова вернулся к этой еще не окончательно решенной задаче. Тщательно пересмотрев свои формулы, Лаплас нашел в них такие члены, далеко стоящие от начала ряда, которые, вопреки первоначальным ожиданиям, оказались не ничтожно малыми по своей величине, а весьма заметными. Кроме того, эти члены оказались явно периодическими. Лаплас нашел и период этих членов — он оказался более 900 лет. Значит, если бы астрономические наблюдения продолжались уже достаточно долго, то по ним можно было бы заметить, как с течением времени ускоренное движение Юпитера сменяется замедленным, а замедленное движение Сатурна ускоренным.

Какая же причина вызывает в движении Юпитера и Сатурна такие большие возмущения, к тому же обнаруживаемые теоретически лишь в членах, очень Далеких от начала тех рядов, которыми эти возмущения выражаются? Что заставляет эти члены за большие промежутки времени достигать существенной величины? Оказывается, как подметил Лаплас, пять периодов обращения Юпитера по своей орбите почти в точности равны трем периодам обращения Сатурна. Благодаря этому через каждые пятнадцать лет взаимные расположения Солнца и этих двух планет повторяются. Сила, с которой планеты возмущают движение друг друга, зависит от их расположения по отношению к Солнцу и друг к другу. Каждый раз, когда расположение тел, соответствующее наибольшему взаимному влиянию, повторяется, возмущения движения также повторяются и действуют все время в одном и том же направлении. Таким образом, маленькие возмущения нарастают все больше и больше, как бы наслаиваясь друг на друга (подобно тому, как это бывает при явлении резонанса), и достигают в результате заметной величины.

Если бы три периода Сатурна в точности равнялись пяти периодам Юпитера (были, как говорят, соизмеримы), то эти возмущения росли бы неограниченно и были бы вековыми. Тогда настало бы время, когда орбиты и движение обеих планет совершенно перестали бы быть похожими на то, что мы наблюдаем сейчас.

Из-за не вполне точной соизмеримости возмущения в движении Юпитера и Сатурна оказываются не вековыми, а лишь долгопериодическими (с очень большими периодами). Таким образом, загадка больших, казавшихся вековыми, неравенств в движении Юпитера и Сатурна была разгадана.