Теория вероятностей

Араго говорит: «Канцлер императорского Сената, получавший более 100 тысяч ливров годовой ренты, с не меньшим усердием, чем простой академик Лаплас, стремился увязать все неправильности и возмущения в движении светил с принципом всемирного тяготения, распространить метод математического анализа на явления общественной жизни, в которых обыватель видит тайну или слепой случай».

Этими словами Араго напоминает о ряде работ Лапласа в области физики, выполненных им с 1808 по 1826 г., и о работах по математической теории вероятностей. Последние в виде прекрасной книги «Аналитическая теория вероятностей» вышли впервые в 1812 г. В 1814 г. вышло второе издание этого замечательного труда, к которому в качестве предисловия был помещен «Опыт философии теории вероятностей», вышедший и отдельным изданием. В 1820 г. вышло третье окончательное издание трудов Лапласа в этой области, снабженное расширенным предисловием и четырьмя дополнениями.

Теория вероятностей родилась из азартных игр, из стремления установить шансы на выигрыш в определенных условиях. Простейшая и наиболее известная игра, основанная на законе случая, — игра в «орла и решку». Если монета представляет собой совершенно правильный цилиндр с центром тяжести, совпадающим с ее геометрическим центром, то вероятность выпадения «орла» при одном бросании монеты такова же, как и для «решки». Сумму вероятностей всех возможных событий в каком-либо явлении принимают за единицу. Если какое-либо явление имеет вероятность, равную единице, то его надо считать достоверным, т. е. таким, которое обязательно произойдет и совершенно не подвержено случаю. Например, если ежедневный восход Солнца рассматривать с точки зрения его вероятности, основанной на непрерывном наблюдении явления, то вероятность того, что Солнце взойдет завтра, практически равна единице.

Понятие вероятности события, довольно ясное само по себе, и математической теории «случайных» явлений рассматривается как отношение числа шансов, благоприятствующих данному событию, к числу всех шансов.

В случае с монетой вероятность того, что при бросании ее не выпадут ни «орел», ни «решка», равна нулю. Вероятность, что выпадет либо «орел», либо «решка», будет равна единице — это будет достоверность.

В урне лежит сто шаров, из которых один черный, а остальные белые. Какова вероятность того, что, беря наудачу один шар, мы вынем именно черный? Ясно, что каждый шар имеет один шанс быть вынутым, а всего шансов в нашем примере — сто. Вероятность вытянуть белый шар равна девяносто девяти сотым, т. е. очень близка к единице, к достоверности. Может, конечно, случиться, что первый же вынутый шар будет черным, но наш математический расчет позволяет утверждать, что если подобный опыт будет продолжаться много сот раз, то на каждые сто опытов черный шар будет вынут лишь один раз. Подобных примеров, обычно более сложных, где дело основано на так называемых «случайных явлениях», в человеческой практике очень много. Пока не были изучены их объективные законы, разные шарлатаны могли широко использовать «случай», создавая условия, на которых они вовлекали в свое предприятие простодушных людей.

Математика впервые была применена к теории вероятностей Паскалем и Ферма. Они воспользовались методом «исчисления конечных разностей» и решили некоторые задачи, связанные с азартными играми.

Развитие аналитических методов в этой области связывают с именем швейцарца Якоба Бернулли. Он доказал теорему, носящую его имя (проработав над ней 20 лет и применяя тонкий анализ, тогда как современная математика доказывает ее в нескольких словах). После него работали над этой теорией математики Моавр и Байес.

Астроном Галлей впервые составил таблицу распределения смертности по возрастам и этим положил начало статистике. Сочетание статистического материала и элементов теории вероятностей придало ей характер подлинной математической науки, могущей иметь громадное практическое значение в самых разнообразных областях жизни.

Когда Лаплас приступил к усовершенствованию теории вероятностей (первые попытки он делал еще двадцатилетним юношей), она находилась еще в довольно хаотическом состоянии, и методы, которыми она пользовалась, были элементарны; доказательства теорем получались недостаточно ясными и очень громоздкими.

Лаплас прежде всего пересмотрел эти методы и применявшийся математический аппарат и вместо них ввел новые математические методы, использовав достижения современного ему анализа, в частности разработанную им самим теорию особых «образующих» функций. Этим Лаплас сделал свое изложение теории вероятностей простым? ясным, экономичным и изящным. Основным его результатом стала теорема, носящая имя Лапласа, — более широкая и точная, чем теорема Бернулли.

Лаплас развил главным образом ту отрасль теории вероятностей, которая носит название «теория ошибок и способ наименьших квадратов» и без которой не может ныне обойтись ни один естествоиспытатель. Особенно она важна для астрономов и физиков при их многочисленных измерениях одной и той же величины. В ее разработке Лаплас принял участие наравне с Гауссом и Лежандром.

Но и биология, и физиология постоянно прибегают к содействию этой теории. Эмпирически построенная Лежандром и в особенности Гауссом, эта теория, обоснованная и развитая Лапласом, позволяет, например, вычислить точность результата тех или иных подсчетов и наблюдений, позволяет судить о степени достоверности каких-либо численных выводов. Лаплас и Гаусс впервые широко пользовались способом наименьших квадратов в вопросах небесной механики и в других.

В «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас дает не только блестящее популярное изложение самой теории, но и делает попытку философского обоснования ее положений и выводов. Тут же он излагает свои обширные соображения о применении теории вероятностей к явлениям социального характера, но мы их рассмотрим дальше, в связи с общей характеристикой мировоззрения ученого. Развитие математической статистики, биометрии, различного рода страхований, которые, распространившись на различные сферы жизни, сделались неизбежным фактором социальной и экономической политики, — все это свидетельствует о значении, какое может иметь теория вероятностей, лежащая в основе этих наук и приложений.

За последнее время она вводится как обязательный предмет изучения не только на математическом отделении физико-математических факультетов, но и на экономических, юридических и других факультетах высших школ... И надо помнить, что своими корнями и теория вероятностей, и опирающаяся на нее математическая статистика уходят в труды Лапласа.