Материалы по истории астрономии

На правах рекламы:

• На сайте www.makilplus.ru сушильные камеры (Россия) объемом от 10 до 140 м куб

4. О рефракции лучей света1 (сдано г. Эйлером 26 декабря 1738 г. н. ст.)

1. То свойство лучей света, благодаря которому они при прохождении через различные среды отклоняются от прямой линии и испытывают преломление, не без основания приписывается различной скорости движения, с которой лучи переносятся. И если даже относительно самой этой скорости можно выдвинуть много сомнений, то какова бы ни была причина рефракции, ее без всякой ошибки следует отнести к различию скоростей лучей. Таким образом, скорость лучей будет рассматриваться здесь как свойство, вызывающее преломление. Благодаря этому свойству лучи света в любой прозрачной среде имеют данную степень скорости, по которой и определяется величина рефракции.

Первый лист рукописи Л. Эйлера «О рефракции лучей света»

Пусть луч света претерпевает рефракцию такого рода, переходя из одной среды в другую так, чтобы синус угла падения относился к синусу угла преломления, как скорость в первой среде к скорости во второй среде.

2. Итак, если в пустоте или бесконечно разреженном воздухе скорость света полагается равной с, а потом в воздухе, имеющем плотность m, скорость света полагается равной u, то луч света при переходе из пустоты в воздух преломляется таким образом, что синус угла падения будет относиться к синусу угла преломления как По эксперименту же Хоуксби2 рефракция лучей при переходе из пустоты в обычный воздух определена так, что синус угла падения относится к синусу угла преломления как 1 000 000 / 999 736. Итак, если плотность этого воздуха полагается равной m, а скорость света равной u, то c/u = 1 000 000 / 999 736. Подобным же образом выясняется, что если луч из этого воздуха переходит в воздух, вдвое более плотный, то синус угла падения будет относиться к синусу угла преломления так же, как 1 000 000 / 999 736.

Если же предполагается, что скорость света в воздухе с плотностью 2m равна 2u³,3 то u будет равно: u = (999 736 · c) / (1 000 0004),4 а 2u = (999 736 · u) / (1 000 000) = (999 736 / 1 000 000)² заключить, что скорость света в воздухе, плотность которого была бы равна vm, будет равна (999 736 / 1 000 000)v · c. При проведении же этого эксперимента барометр имел высоту до 29 дюймов 7½ линий.5 Термометр же или объем винного спирта занимал 137 делений. Тот же спирт во время замерзания воды занимает 126 делений, во время же наибольшего летнего тепла — 144 деления.6

3. Поэтому если бы воздух имел какую-либо неизменную плотность q, то [скорость] лучей света в этом воздухе следует оценить как (0,999736)q/m · c. А так как 0,999736 = 1 − 236/1 000 000 = 1 − 1/3800,7 скорость света в этом воздухе равна:

c · (1 − q/3800m + (q(1 − m)) /(2 · 3800² · m²) − (q(qm)(q − 2m)) / (6 · 3800³ · m³) + ...).

Для этой скорости можно достаточно надежно принять такое выражение: ccq / (3800 · m). Плотность же воздуха при неизменной температуре пропорциональна упругости, т. е. высоте ртути в барометре. А при постоянной упругости плотность обратно пропорциональна числу градусов, которые указывает термометр, поскольку эти числа характеризуют расширение воздуха. Итак, если в каком-либо месте наблюдается высота барометра, равная a, а термометр указывает число [градусов, равное] n, то плотность воздуха будет равна m · a/29,625 · 137/n, т. е. если a выражается в дюймах лондонского фута, 4,624 · ma/n.8 И в этом воздухе скорость света равна c · (1 − a/(82 · n))n.

4. Теперь определим изменение плотности воздуха на разных атмосферных высотах. Итак, пусть ACP будет вертикальная прямая, на которой CD будет горизонтальной линией, взятой на поверхности моря. Сама же аппликата9 CD выражает плотность воздуха в этом месте, которая будет равна m. На какой-либо высоте P соответствующая аппликата выражает Pm = y — плотность воздуха. Шкала же этих плотностей будет непрерывна до B, места, где воздух приведен к максимальной плотности.

Пусть AC = a, AB = p и AP = x, тогда x будет равен:

x = (b/∛p)l(p/y) + ((py)b) / (3p · ∛p).

Вот почему если предполагается, что CP = z, то будет

a + z = (b/∛p)l(p/y) + (b(py))/(3p · ∛p).

Пусть z = 0. Положим, что y = m, откуда будет

a = (b/∛p)l(p/m) + (b(pm))/(3p · ∛p) = AC.

Если z выражается в парижских футах,10 так, чтобы 2 было неким известным числом, то, как показал эксперимент, если z не будет слишком большим числом, то y будет равно: y = (22 000 · m)/(22 000 + z). И потом b равным образом будет обозначать известное число парижских футов, которое мы таким образом и найдем.

5. Пусть z будет бесконечно малое число y = mmz/22 000 и потому

a + z = (b / ∛p)l(p/m) + (b(pm))/(3p · ∛p) + z = (b / ∛p)l(p/m) + bz/(22 0000 · ∛p) + ((pm)b)/(3p · ∛p) + bmz/(3 · 22 000 · p · ∛p)

откуда будет:

Проведенный же эксперимент по сжимаемости воздуха показал,11 что p = 64m,12 откуда будет b = 87 544 · ∛m. Итак, мы имеем:

a = 87 544 · (∛(m/p))l(p/m) + (87 544(pm))/(3p) ∛(m/p) = 21 886 · l · 64 + 718113

и

21 886 · l · 64 + 7181 + z = 21 886 · l (64m/y) + (87 544 (64my)/(768m)).

Или:

z = 21 886 · l(m/y) + (113 (95/96)(my))/(m),14 откуда мы получим соотношение между плотностью воздуха и высотой над уровнем моря,15 опять очень близкое к y = e(− z/(21 886 · m)). На этой же высоте скорость распространения света в воздухе будет равна: c (1 − e(− z/21 886)/3800), откуда можно будет определить рефракцию, которую претерпевают лучи, проходящие через атмосферу. Сделаем то же рассмотрение менее широким и воспользуемся вместо определенных чисел неопределенными и на высоте z положим скорость света равной c (1 − e(− z/η)/λ).

6. Теперь пусть C — центр Земли, AQ — поверхность Земли, а A — место, в котором наблюдается луч света под углом ∠NAC; прямая NA проведена по касательной к кривой AMm, с которой луч [света] образует в точке наблюдения A угол ∠NAα или дополнение к повышению над горизонтом в месте наблюдения, синус которого равен α, а полный синус равен единице. Из чего мы определим свойства кривой AMm, которую образует луч.16 Пусть полудиаметр Земли AC = a, QM = z, и на касательную MP из точки C опустим перпендикуляр CP= p. Затем в ближайшей окрестности [этой точки] проведем построение qm = z + ∂z и перпендикуляр CP = p + ∂p, причем mp будет касательной к кривой, построенной в точке m. Вследствие этого CM будет равно: СМ = a + z, a PM = √((ca + z)² − p²), откуда синус угла ∠PmC равен p/(a + z + ∂z) = p/(a + z) − pz/(a + z)². Синус же угла ∠Pmc [равен] sin ∠nmμ = (p + ∂p)/(a + z + ∂z)17 = p/(a + z) + ((a + z)∂ppz)/(a + z)².

И в самом деле, угол ∠nmμ — это угол падения луча μm в слое атмосферы ms, а ∠Pmc — угол преломления. Вот почему если предполагается, что скорость луча света, с которой он проходит через mM, равна z, то скорость, которую он будет иметь при прохождении через выше расположенный слой, будет равна mμ = z + ∂z, откуда по свойству преломления будет:

z + ∂z: z = p/(a + z) + ((a + z)∂ppz)/(a + z)²: p/(a + z) − pz/(a + z

или

(z(a + z)∂pzpz)/(a + z)² = pz/(a + z) − zpz/(a + z)².

Так что будет: zp = pz. Интегрирование этого уравнения даст p/z = const, в соответствии со свойством кривой AMm, которую образует луч света.

7. Когда же из-за уменьшения плотности воздуха z будет равно z = c (1 − e(−z/η)/λ) или синус угла ∠CMP полагается равным s из-за p/(a + z) = s, то получится

(a + z)s = Cc (1 − e(−z/η)/λ).

Постоянная же C определится при совмещении точки M с точкой A, в которой z будет z = 0 и s = α, откуда

aα = Cc (1 − 1/λ), или Cc = aα/(1 − 1/λ)

Вот почему из-за кривизны этого луча получается определенное уравнение

(a + z)s = aα/(1 − 1/λ) (1 − e(−z/η)/λ) = (aα (λ − e(−z/η))/ (λ − 1),

[откуда] получаются λ = 3800 и η = 21 886, если z выражается в парижских футах. Итак, отсюда будет синус угла ∠CMP = s = (aα (λ − e(−z/η))/ ((a + z)(λ − 1))

8. Пусть синус угла ∠ACQ = x, а косинус равен √(1 − x²),18 дуга же будет равна AQ = a · дугу, синус которой равен x, и угол ∠QCq = ∂x/(√(1 − x²)). Откуда будет Mr = ((a + z)∂x) / (√(1 − x²)) и Mm = √(cz² + ((a + z)²∂x²)/(1 − x²)) и потому синус угла ∠CMP = s = ((a + z)∂x)/√((1 − x²)∂z² + (a + z)²∂z²) = (aα (λ − e(−z/η))/ ((λ − 1)(a + z)), что приведется к такому уравнению:

x/√(1 − x²) = (aα (λ − e(−z/η))∂z)/((a + z)√(c(λ − 1)∂z²(a + z)∂z² − a²α² (λ − e(−z/η))²))

В этом уравнении переменные x и z отделены друг от друга.

9. Угол же ∠ACQ найден по высоте z, или наоборот. Синус угла ∠ANC будет равен α√(1 − x²) − x√(1 − α²), и отсюда

CN = aα/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))

и

AN = ax/(α√(c(1 − x²)) − x√(1 − α²)),

откуда MN будет равно:

MN = aα/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) − az.

Итак, если провести хорду MA, которая представляет собой луч света, идущий из M в [точку] A, если он не претерпевает никакого преломления, то тангенс угла ∠MAN находится [из выражения]:19

[tg ∠MAN] = (aα(α√(1 − x²) − x√(1 − α²) − (a + z)[α√(1 − x²) − x√(1 − α²)]²)) / (ax − [aα − (a + z)(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))](αx + √((1 − x²) (1 − α²)))).

И этот угол следует добавлять к наблюдавшемуся углу ∠MAα, чтобы получить истинный угол ∠MAα, на который объект M отстоит от зенита α, или же что найденное из наблюдений повышение объекта над горизонтом следует уменьшить на тот же самый угол. Проведенный же из [точки] M к [прямой] AN перпендикуляр MR равен:

MR = aα − (a + z)(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))

и

AR = αx/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) − (aα[αx + √((1 − x²) (1 − α²))])/ (α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) + (a + z)[αx + √((1 − x²) (1 − α²))].

10. Положим, что AR = u и RM = y, [тогда] AM = √(u² + y²) и синус угла ∠RAM = y/√(u² + y²), а [его] косинус равен u/√(u² + y²). Отсюда будет20 синус угла ∠MAα равен (αu + y√(1 − α²))/√(y² + u²), а [его] косинус равен (u√(1 − α²) − αy)/√(u² + y²) и потому

CM = √(a² + u² + y²) + 2au · √((1 − α²) − 2aαy) = a + z

и

(a + z): (αu + y√(1 − α²))/√(u² + y²) = √(u² + y²): x,

11. Пусть расстояние z будет очень малым по сравнению с радиусом a. [Тогда] будет:

e(−z/η) = 1 − z/η.

И потом:

∂x/√(1 − x²) = (αa(λ − 1 − z/η)∂z(1/az/a²)) / √((λ − 1)²(a + z)² − a²α²(λ − 1 + z/η)²).

Отсюда

1/²([(λ − 1)² − a²α²(λ − 1 + z/η)²]) = [(λ − 1)²a²(1 − α²) + 2az(λ − 1)² − (2(λ − 1)a²α²z)/η]−½ = 1/((λ − 1)a√(1 − α²)) − (aηz(λ − 1)² + a²α²(λ − 1)²z) / (η(λ − 1)³a³(1 − α²)3/2),

что следует умножить на (λ − 1)α − ((λ − 1)αz)/α + αz/η.

Итак, из-за того, что x = 0, [получим] приближенно:21

∂x = α∂z/(a√(1 − α²)) − zz((αη(λ − 1) − aα³)/(ηa²(λ − 1)(1 − α²)3/2) + ((λ − 1)αη − aα)/(ηa²(λ − 1)√(1 − α))),

z = (ax√(1 − α²))/α.

Пусть будет:

MR = aα − aα − ax√(1 − α²) + (ax²(1 − α²))/α.

итак, MR = (ax²(2 − α²))/2α, а так как α√(1 − x²) − x√(1 − α²) = α − αx²/2 − x√(1 − α²), то AR = ax/α, откуда тангенс угла ∠MAN будет равен x(1 − (1/2)α²).22

12. Если же по x определить z, то можно будет найти и тангенс угла ∠MAN, на который следует увеличить полученное из наблюдений расстояние объекта M от зенита; тангенс [угла ∠MAN] равен (αz)/(2η(λ − 1)(1 − α²)), а так как λ = 3800 и η = 21 886, то будет 2η(λ − 1) = 166 333 600, потому что в самом деле (az)/√(1 − α²) = ax. Тангенс угла ∠MAN будет равен (ax)/ 166 333 600 = (9/76)x.

Правило. Итак, высота любого наблюдаемого объекта всегда должна быть уменьшена на угол, который относится к углу удаления объекта в месте наблюдения от Земли, как 9 к 76.

Путем наблюдения единичного объекта, высота которого и его расстояние от какого-либо места наблюдения иные, можно определить более точное отношение: 9 : 76.

Примечания

1. Латинский оригинал Л. Эйлера хранится в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ф. 136, оп. 1, д. 125, л. 1—2 об.), копия рукописи, сделанная рукой Ж.Н. Делиля, — в Архиве Парижской обсерватории (шифр A21, л. 1—4).

2. Френсис Хоуксби измерил показатель преломления различных жидкостей, провел эксперименты по рефракции и дифракции света. 11 наблюдений Хоуксби по дифракции И. Ньютон включил во второе издание своей «Оптики» (1717 г.).

3. У Эйлера: u2.

4. Делиль допустил здесь ошибку при копировании. У него было: u = 999 937/1 000 000.

5. 29 дюймов 7½ линий составляют 74,829 см.

6. По-видимому, Л. Эйлер пользуется Делилевой шкалой термометра, имевшей 150 делений. В переводе на шкалу Цельсия 137° = 11°C, а 144 = 18°C.

7. Здесь Л. Эйлер допустил ошибку в вычислениях, которая была замечена Г.В. Крафтом и исправлена в оригинале Л. Эйлера: 0,999736 = 1 − 264/1 000 000 = 1 − 33/225 000 ≃ 1 − 1/3787 ≃ 1 − 1/3800.

8. Т. е. 1,409 м · ma/n.

9. В современной терминологии — абсцисса. К разделу 4 Эйлер привел чертеж № 1 (л. 1 об.), который Делилем перенесен в конец статьи.

10. 1 парижский фут равен 0,32484 м.

11. По-видимому, здесь имеются в виду эксперименты, представлявшие собой видоизмененное повторение опытов Ж.Н. Делиля 1712 г. по измерению скорости распространения в атмосфере звука грома и света молнии. Они проводились Д. Бернулли и Л. Эйлером летом 1727 г. в Петербурге. При стрельбе из пушки вертикально вверх измерялась скорость распространения в атмосфере света и звука. На основе этих экспериментов Эйлер пришел к выводу о существовании предела сжимаемости воздуха, что послужило основой для разработки им своеобразной модели земной атмосферы, применявшейся затем и к атмосферам других небесных тел.

12. Первоначально у Л. Эйлера было: bp = 64m. По указанию Делиля в формулу внесена поправка: b вычеркнуто.

13. У Эйлера было: 10 600. Число зачеркнуто и исправлено на 7181, вероятно рукой Г.В. Крафта.

14. Под этой строчкой мелко вписано рукой Г.В. Крафта: z = 22 000×l(m/y) + (22 000 (my))/3p, y = (m(22 000 − z)/22 000).

15. у Эйлера буквально: «на уровне моря» (в оригинале: altitudines supra libellam aqua).

16. В оригинале здесь приведен чертеж № 2, который Делиль дал в конце статьи.

17. У Делиля здесь описка: (p + ∂p)/(a + z + ∂).

18. У Эйлера здесь и ниже — устаревшие обозначения √(1 − x · x). В русском переводе дана принятая сейчас система записи.

19. Здесь и ниже у Эйлера и Делиля много расхождений. Часто путаются a и α, x и α, скобки и т. д., плюсы вместо минусов и т. п.

20. Слово «fiet» у Эйлера Делиль заменил на «sit».

21. Делиль допустил здесь описку: в числителе второго члена, стоящего в скобках, вместо η написано y, а в знаменателе первого члена, стоящего в скобках, (1 − α²)3/2 заменено на (1 − a²)3/2.

22. В следующем выражении Делиль допустил описку: заменил α на a в последнем члене левой части и втором члене правой части.

«Кабинетъ» — История астрономии. Все права на тексты книг принадлежат их авторам!
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку