Математические труды Ампера

Биограф Ампера должен часто испытывать унижение своего самолюбия. Я сейчас принужден был отступиться от его психологических исследований, потому что я не мог понять их важность и глубину, и вот опять нужно признаться, что выше сил моих обыкновенным языком сделать удобопонятными труды нашего товарища в чистой математике; а между тем нельзя не упомянуть о «записках», которые, в 1813 г., по смерти Лагранжа, отворили ему дверь в Академию наук.

Предприимчивый ум Ампера предпочтительно стремился к вопросам, признанным неразрешенными после бесполезных усилий в продолжение двадцати веков; он — если позволено так выразиться — забавлялся в пучинах науки, и для меня было удивительно, что он не занимался квадратурой круга; но в рукописной заметке секретаря лионской академии я нашел, что 8-го июля 1788 г., Ампер, имевший тогда тринадцать лет от роду, представлял этому ученому собранию сочинение о пресловутой задаче. Потом в том же году на суд своих земляков он предлагал рассуждение «о выпрямлении всякой дуги круга, меньшей полуокружности». Обе записки не дошли до нас, хотя, по упомянутой заметке, молодой Ампер не только не считал этих задач неразрешимыми, но еще думал, что он разрешил их.

Само собой разумеется, что я не могу согласиться с мнением нашего товарища, и кажется, не было бы надобности упоминать о бесполезном труде; но ошибки людей высших дарований так же поучительны, как их успехи, и биограф не должен скрывать от публики ни тех, ни других. Притом, разве молодому или даже совершеннолетнему геометру постыдно заниматься изысканием квадрата, равного площади круга? Разве мы не знаем, что над квадратурой круга трудились и древние геометры: Анаксагор, Метон, Гиппократ из Хио, Архимед, Аполлоний, и новые, Снеллий, Гюйгенс, Грегори, Валлис, Ньютон? Эта задача не покорялась проницательности многих геометров, или — вернее — свидетельствует об их заблуждении; но она и не препятствовала им оказывать существенные услуги наукам. Например, Порта изобрел камеру-обскуру, Грегуар С. Венсан, иезуит, открыл замечательные свойства гиперболических пространств, ограничиваемых асимптотами, и пр., и пр.

Вероятно, возразят, что оправдывая тщетные покушения тринадцатилетнего ребенка, я даю квардатурщикам повод к упорству в их заблуждениях; но по моим академическим обязанностям я бывал в прямых и личных отношениях с такой сектой, которую не убеждали никакие авторитеты, которая радикально пренебрегала всеми геометрами и даже сомневалась в главных теоремах самого Евклида, например, в теореме о квадрате гипотенузы.

Если мания, скажу, почти бешенство, которое, как доказал опыт, наиболее обнаруживается весной, не может быть оправдано логикой, то для уничтожения его надобно старательно объяснить, с каких точек зрения нужно смотреть на квадратуру круга, потому что я был свидетелем одного замечательного исцеления.

Первая из записок Ампера, напечатанных по его приезде в Париж, относится к элементарной геометрии. Эта записка, представляемая лионской академии 1801 г., явилась в свет в июльской тетради 1806 г. «Корреспонденции Политехнической школы». В нескольких словах можно выразить цель автора.

В элементарной геометрии есть предложение столь очевидное, что его можно считать аксиомой. Вот оно:

«Если две прямые линии, находящиеся в одной плоскости, параллельны между собой, т. е. если они, продолженные неопределенно, нигде не сходятся, то третья, составляющая угол с одной из них, непременно пересечет другую».

Верно, что никто не будет опровергать этой теоремы; однако ни один из знаменитых геометров: ни Евклид, ни Лагранж, ни Лежандр, и проч. не могли доказать ее геометрически^*.

В геометрии тел или в стереометрии есть предложение также очевидное и также недоказанное; я разумею теорему «о равенстве двух наклонных многогранников, т. е. теорему о равенстве двух наклоненных многогранников, общее которых основание находится на одной горизонтальной плоскости, из которых один выше, а другой ниже этой плоскости, и стороны которых подобны, равной длины и одинаково наклонены к основанию»; словом: один из многогранников есть изображение другого, приставленного к зеркалу.

В записке своей Ампер доказывает равенство этих двух многогранников, и надобно сказать, доказывает с совершенным успехом.

В 1803 г. Ампер представил Институту весьма изящный труд, напечатанный уже в 1808 г. под названием: «О пользе для теории кривых линий, извлекаемой из рассмотрения соприкасающихся парабол».

К 26-у флореаля 11 года относится записка Ампера, помещенная в 1-м томе «Трудов посторонних ученых» под заглавием «Исследования о приложении общих формул вариационного исчисления к задачам механики».

Общие формулы равновесия, предложенные бессмертным автором «Аналитической механики» сходны с формулами вариационного исчисления для определения наибольших и наименьших величин интегралов. Ампер думал, что это сходство, замеченное уже Лагранжем, открывает возможность избегать обременительной интеграции по частям в решениях вопросов статики. Но как упомянутое сходство есть только видимое, и задачи механики требуют преобразование формул вариационного исчисления, то Ампер предлагает эти преобразования и применяет их к старой задаче о цепной линии.

Определение кривой линии, образуемой цепью, равно тяжелой во всех своих точках, нерастяжимой и прикрепленной двумя ее концами, заслуживает внимание во многих отношениях. Галилей занимался им без успеха; его заключение, что искомая кривая может быть парабола, оказалось ложным, несмотря на паралогизмы патеров Пардиеса и Ланиса, которыми хотели они опровергнуть одного противника, противополагавшего им доказательства механические. В 1691 г. Яков Бернулли вновь предложил эту задачу ученому миру в виде рыцарского вызова; только три геометра подняли перчатку: Лейбниц, Гюйгенс и Иван Бернулли, из которых последний — говорим мимоходом — с этого времени начал вызывать зависть к своему наставнику, благодетелю и брату, — пример, научающий, что любовь к славе может сделаться страстью непокорной и самой беззаконной. Четыре знаменитых геометра нашли истинное дифференциальное уравнение кривой и вывели из него следствия. Итак, надобно было думать, что вопрос решен окончательно; но записка Ампера содержит новые замечательные свойства, как самой цепной линии, так и ее развертки.

Дополнение предмета, которым занимались Лейбниц, Гюйгенс и Бернулли, не малая заслуга. Прибавим еще, что в анализе нашего товарища соединены и простота и изящество.

Кроме того, Ампер составил новое доказательство Тейлорова ряда и выразил величину отбрасываемых от него членов.

Занимаясь преподаванием математики в Политехнической школе, Ампер не мог не искать доказательства для правила возможных скоростей без помощи количеств бесконечно малых. Это доказательство содержится в записке, напечатанной в 1806 г. в 13-й тетради «Журнала» этой школы.

В продолжение своего кандидатства на упразднившееся место академика по смерти Лагранжа в 1813 г. Ампер представил академии сперва — «Общие соображения об интегралах уравнений с частными разностями» и потом «Приложение этих соображений к интегрированию дифференциальных уравнений первого и второго порядков». Эти две записки доказали, что автор коротко знаком с наиважнейшими трудностями анализа.

Сделавшись академиком, Ампер не отказался от деятельности. Он занимался приложением анализа к наукам физическим. Из этих трудов упомянем:

1) О «доказательстве закона Мариота», читанном в академии 24 января 1814 г.

2) О «доказательстве новой теоремы, из которой можно вывести все законы обыкновенного преломления света», читанном в академии 27 марта 1813 г.

3) О записке, содержащей «определение поверхности волн света в среде, имеющей различную упругость по трем своим измерениям», представленной академии 26 августа 1828 г.

Примечания

*. Евклид, кажется, хорошо понимал, что эту теорему не нужно доказывать; он назвал ее постулатой или требованием, т. е. условием, без которого невозможна теория параллельных линий. — Пер.