Об исключении неизвестных

Первый важный труд, которым Пуассон дал знать о себе, есть весьма краткая записка об исключении неизвестных, помещенная в одиннадцатой тетради «Журнала Политехнической школы», изданной в 1800 г. Под этой запиской подписано просто: гражданин Пуассон. Итак, в то время автор еще не имел никакого официального титула.

Записка об исключении неизвестных должна остановить на себе наше внимание, потому что ею начинается блестящий и длинный ряд трудов Пуассона, и потому что она отличается изяществом методов. Желая дать ясное понятие об этом сочинении, я нахожу необходимым упомянуть об ученых словах, смысл которых не всем известен.

О количестве, рассматриваемом отдельно, говорят, что оно находится в первой степени. Если умножить его на самого себя, то произведение будет называться второй его степенью. Вторая степень, умноженная на то же самое количество, дает третью степень. Третья степень, умноженная опять на то же количество, дает четвертую степень и т. д. Числа, означающие степень количества, называются показателями.

В математических задачах искомые количества определяются различными условиями, которым должны удовлетворять величины этих количеств. Например, найти число, от третьей степени которого отнимается его вторая степень, взятая 25 раз, к разности придается его первая степень, взятая 40 раз и, наконец, если от суммы отнимем 50, то в остатке получим нуль. Такое сложное условие, выраженное арифметическими знаками с обозначением искомого числа буквой x, называется в алгебре уравнением.

Уравнения, в которых содержатся третья, четвертая и пр. степени количества x, могут удовлетворяться тремя, четырьмя и пр. числами; но иногда никакое число не удовлетворяет данным условиям уравнения, что всегда обнаруживается приличным вычислением: тогда говорят, что уравнение разрешается мнимыми корнями.

За такими вопросами следуют более сложные, в которых требуется определить 2, 3, 4 неизвестных также посредством уравнений. К этому роду вопросов принадлежит следующая задача: найти два числа, такие, что если от шестой степени первого отнимем произведение пятой степени того же первого числа, умноженной на первую степень второго, и если потом отнять 40, то в остатке выйдет нуль. Эти задачи принадлежат к так называемым задачам неопределенным, потому что упомянутым условиям, выраженным одним уравнением, можно удовлетворить множество чисел. Но если число условий или число уравнений равняется числу неизвестных, то задача принимает определенное число решений. Чтобы найти эти решения, сначала, посредством преобразований уравнений с двумя, тремя и пр. неизвестными, надо составить одно уравнение с одним неизвестным: такое уравнение называется окончательным. Оно-то и показывает, сколько решений принимает задача. Но так как число решений уравнения с одним неизвестным не может быть более показателя самой высшей его степени, то понятно, что главный интерес в решении вопроса состоит в предварительном знании высшей степени окончательного уравнения.

Это предварительное знание или теорема о высшей степени окончательного уравнения относится только к полным уравнениям с двумя, тремя и пр. неизвестными. Полное же уравнение всякой (m) степени должно содержать все члены, в которых сумма показателей степеней искомых количеств не превышает степени (m) уравнения. После этих объяснений можно сказать, что определением степени окончательного уравнения, происходящим от исключения всех неизвестных, кроме одного, из полных уравнений степеней m, n, p и пр., занимался один из геометров нашей академии, Безу, написавший сочинение под названием «Общая теория алгебраических уравнений», изданное в 1779 г., т. е. за два года до рождения Пуассона. Это сочинение весьма обширно, составляет том in-4° из 460 страниц. В его первой части находится определение степени окончательного уравнения, занимающее более 140 страниц. Все трудное исследование Безу Пуассон объяснил на четырех страницах. Едва ли некоторые геометры читали «Общую теорию уравнений» и едва ли не от самого автора получали сведения о его важнейшей теореме: «степень окончательного уравнения, выводимого из полных уравнений, равняется произведению показателей m, n, p ...степеней этих уравнений».

Хотя по способу Пуассона всегда можно достигнуть окончательного уравнения, однако и сам изобретатель этого способа признается, что он требует почти неисполнимых вычислений и советует употреблять способы, подробно изложенные в сочинении Безу.

По необходимости я должен был упомянуть о продолжительных и почти невозможных для чтения выводов Безу, содержащихся в первой главе его теории уравнений. Но не надо забывать, что этот академик оказал великие услуги преподаванию математики различными сочинениями, написанными для воспитанников артиллерийских и морских училищ. Сверх того, он отличался благороднейшим характером, что доказывает одно происшествие из его жизни.

Безу, экзаменатор моряков, приезжает в Тулон. Одного воспитанника удерживала в постели оспа, и если бы он не экзаменовался, то навсегда бы потерял свою карьеру. Безу не имел оспы и весьма боялся этой ужасной болезни. Несмотря на то, он входит в комнату больного, экзаменует и принимает его в морское училище. По моему мнению, этот подвиг достоин памяти, потому что для самой академии доброе дело стоит хорошей записки.

Пуассон, еще будучи учеником Политехнической школы, 8 декабря 1800 г. представил первому классу Института «записку о числе полных интегралов от уравнений с конечными разностями». Два академика, Лакруа и Лежандр, рассматривали ее и предложили, чтоб она была напечатана в «Собрании сочинений посторонних ученых». Такое решение есть высшая похвала всякому сочинению от лица академии. Ни один молодой человек восемнадцати лет не заслуживал подобного одобрения^*.

Примечания

*. Араго ошибся; он забыл юность Клеро, достойную памяти и удивления. Алексис-Клод Клеро родился в Париже 17 мая 1713 г. Его отец, Жан-Батист, был отличным профессором математики и корреспондентом берлинской академии наук. Своего сына он начал учить с самого раннего возраста. Можно сказать, что Клеро сосал математику с молоком кормилицы. В 10 лет он уже читал «конические сечения» и «теорию бесконечно малых» маркиза Лопиталя. В 1726 г., т. е. уже в 12 лет, он представил парижской академии наук свое рассуждение «О четырех кривых линиях, имеющих замечательные свойства». Академия изумилась и заподозрила, что рассуждение было или написано, или исправлено рукой искусного учителя, но строгий экзамен уничтожил все подозрения, и Клод Клеро получил от нее одобрительное свидетельство, которое вместе с рассуждением было напечатано в IV томе «Miscellanea Berolinensia». Клод Клеро, как говорится, рос не по дням, а по часам: в 16 лет он издал «Исследование о кривых линиях двоякой кривизны», и тогда парижская академия отворила ему свои двери, но т. к. малолетство кандидата не подходило под ее устав, она спросила позволения короля отступить от устава для столь редкого, исключительного случая. — Пер.