Вариационное вычисление

Теперь я пропускаю целых 30 лет и нахожу Пуассона за вариационным вычислением.

Вариационное вычисление, считаемое в школах самой трудной частью математики, было предметом ученых исследований нашего товарища, сообщенных академии 10 ноября 1831 г.

Геометры давно нашли правила для определения наибольших или наименьших величин явной функции одного или многих переменных количеств, но до открытия общего способа решать более сложные вопросы, в которых функция долженствующая принимать наибольшие и наименьшие величины, выражается посредством ее дифференциала; они долго употребляли более или менее удачные частные приемы. К числу вопросов такого рода можно отнести определение тела вращения, которое двигалось бы с возможной свободой в жидкости, сопротивляющейся пропорционально квадрату скорости движения. Ньютон разрешил этот вопрос, но ни слова не сказал о способе решения. Бернулли и Тейлор впервые предложили способы находить наибольшие и наименьшие величины интегралов от известных дифференциальных функций. В руках Эйлера эти способы получили важные усовершенствования, предложенные в его сочинении «Methodus inveniendi lineas curvas, etc.». Наконец, Лагранж в своем «вариационном вычислении» нашел способ простейший, общий и приложимый к двойным интегралам.

После этого способ вариаций вошел в состав преподавания математики, и потому казалось странным, что уже в 1831 г. можно было найти в нем недостатки. Но бесспорно, что он не содержал общих правил, когда пределы двойного интеграла были переменные и неизвестные. Благодаря новому труду Пуассона, столь важный недостаток из теории исчез. Теперь геометры даже для двойных интегралов могут составлять уравнения, относящиеся к пределам, рассматриваемым в их всеобщности.

Записка Пуассона помещена в XII-м томе «Recueil de l'Academie». Кроме важного дополнения к вариационному вычислению, геометры найдут в ней различные замечания об условиях интегрирования дифференциальных формул всякого порядка и о выражении интеграла в конечной форме посредством квадратур, когда упомянутые условия удовлетворяются.

Несмотря на мое справедливое уважение к мнениям Пуассона, на его глубокие знания истории математики, не могу не указать на его заблуждение об истинном изобретателе дифференциального вычисления.

Дифференциальное вычисление — одно из величайших человеческих открытий, и важность и разнообразие его приложений доказывают безошибочность соображений нашего ума. С помощью дифференциального вычисления математик обнимает всю природу, проникает в сущность физических вопросов и в глубокие тайны естественных явлений. Посредством дифференциального вычисления даже ученики одной чертой пера разрешают задачи, перед которыми останавливались древние геометры, даже Архимед. Итак, неудивительно, что два гения, Лейбниц и Ньютон, и две великие нации, Германия и Англия, горячо и неприязненно спорили о чести изобретения дифференциального вычисления.

Когда после глубокого изучения документов этого достопамятного процесса, после новой справки с «varia opera mathematica» Ферма, изданных в 1679 г., через 15 лет после смерти их знаменитого автора, Лагранж и Лаплас решили, что Ферма нужно считать истинным изобретателем дифференциального вычисления, тогда наши соседи за Ла-Маншем сильно взволновались и начали утверждать, что столетняя давность владения уничтожает всякое новое посягательство на право и истину. На этом юридическом аргументе основывается и Пуассон, допуская, что спорное изобретение относится к тому времени, когда предложенные Лейбницем знаки дифференциалов были приняты всеми геометрами европейского материка. Но каким образом товарищ наш не заметил, что если бы изобретение состояло только в установлении знаков, то спор между германским и английским геометрами не имел бы никакого значения, потому что во флюксиях Ньютона нет и следов дифференциального вычисления. Я не могу согласиться с мнением Пуассона о затруднении, которое Ферма встретил в нахождении дифференциалов от корней, не зная формулы бинома. Это затруднение доказывает только то, что после всякого открытия остается еще много дела, и что новое вычисление из головы тулузского геометра не вышло в полном вооружении, как Минерва из мозга Юпитера.

К этому прибавим, что Ферма приложил свой новый способ не к одному вопросу о наибольших и наименьших величинах: он употреблял его также для проведения касательных к кривым линиям, и уже Даламбер в «Энциклопедии» сказал: «Новая геометрия есть только обобщенный способ касательных».

Наконец, замечу: несколько строк без глубокого исследования не могут решать вопроса, о котором Даламбер, Лаплас и Лагранж произнесли решительный приговор с неоспоримыми доказательствами своего мнения. Итак, несмотря на мое уважение к Пуассону, изобретение дифференциального вычисления остается не за Ньютоном и не за Лейбницем, а за Ферма. Если это положение примут все беспристрастные геометры, то прекрасные открытия самого Пуассона нужно считать проистекающими из удивительного способа, изобретенного французом. Надеюсь, что это заключение будет благосклонно принято нашей академией.