Кривизна поверхностей

В «Математическом журнале» Креля Пуассон поместил любопытную записку о кривизне поверхностей. Я хочу дать понятие об этой записке.

Если через нормальную в определенной точке кривой поверхности провести множество пересекающихся плоскостей, то получится множество плоских сечений с разными кривизнами, зависящими от формы и величины данной поверхности. Итак, можно было надеяться, что эти кривизны связаны между собой общим правилом или одной формулой, вполне независимой от частной формы поверхности.

Эйлер доказал, что:

1) из данных радиусов кривизны трех каких-нибудь нормальных сечений, не зная уравнения поверхности, можно вывести радиус кривизны всякого также нормального сечения, имеющего определенное положение относительно первых трех радиусов;

2) из бесконечного числа нормальных сечений два, называемые главными, соответствуют наибольшему и наименьшему радиусам кривизны;

3) два этих сечения взаимно перпендикулярны.

Наконец знаменитый геометр определяет радиусами кривизны всякого сечения в функции угла, составляемого этим сечением с сечениями наибольшего и наименьшего радиусов кривизны.

Эйлер также посредством общей формулы соединил радиус кривизны косого сечения с радиусом кривизны нормальных сечений. Но от него ускользнуло простое отношение между этими количествами, открытое нашим академиком Мёнье, славным защитником Майнца во время республики. Это отношение следующее: «радиус кривизны косого сечения — это проложение на его плоскость радиуса кривизны нормального сечения, проходящего через ту же касательную к поверхности».

Эта общая теория кривизны поверхностей, одно из прекраснейших приобретений новейшей геометрии, казалось, не распространяется только на особенные точки, в которых кривые поверхности имеют многие касательные плоскости. Однако Пуассон доказал, что есть случаи, в которых теоремы Эйлера не выполняются: радиусы кривизны нормальных сечений способны принимать многие наибольшие и наименьшие величины даже для точек, имеющих одну касательную. Для примера он указывает на поверхность, происходящую от вращения параболы вокруг ее оси с переменой ее параметра в данной функции описываемого угла. Очевидно, что этого рода параболоид при своей вершине имеет одну касательную плоскость, перпендикулярную к оси вращения, и в той же точке нормальные сечения дают образующую параболу в ее различных формах и положениях. Радиусы кривизны таких линий необходимо переменяются по одному закону с их параметрами, и потому избирая функции, связывающие описываемый угол с параметром, можно получать какие угодно наибольшие и наименьшие величины. Тогда главных сечений будет уже не два, как требует теорема Эйлера.

Правила Эйлера превращаются в совершенно общие теоремы, когда откроются причины исключений при глубоком рассмотрении этого вопроса. Надо сказать к чести математических теорий, что исключительные случаи можно предвидеть a priori, и означить, от каких обстоятельств они зависят.

Я не могу умолчать о замечательном следствии из анализа Пуассона: теорема Мёнье о радиусах кривизны косых сечений не изменяется и в том случае, когда теоремы Эйлера оказываются недостаточными.