Вычисление вероятностей

Любопытно знать, по каким соображениям великие геометры выбирают для своих занятий тот или другой предмет предпочтительно. Пуассон иногда открывает эту тайну. Движением Луны вокруг Земли он занимался потому, что эта теория привлекательна своими трудностями. Без сомнения, та же причина побудила Пуассона в 1837 году заняться исследованиями вероятности приговоров по уголовным и гражданским делам. Первое решение этого вопроса, одного из труднейших математических задач, принадлежит Кондорсе и находится в его книге «Опыт приложения анализа к вероятности приговоров по большинству голосов». До издания этого «опыта», предпринятого по желанию Тюрго, существовало только небольшое сочинение Николая Бернулли о том же предмете. Сейчас во Франции есть три трактата «ex-professo» о вероятностях, рассматриваемых во всей их общности: трактат Кондорсе, Лапласа и книга Пуассона, о которой мы будем говорить.

В сочинении Пуассона содержится больше, чем обещает его заглавие: в первых четырех главах предложены общие правила и формулы вычисления вероятностей, и только в пятой главе он приступает к вопросу о вероятности уголовных и гражданских приговоров.

В исследованиях этого вопроса беспрестанно употребляется так называемый закон больших чисел; вот какими словами его можно выразить: «весьма большие числа одного рода, связанные с причинами постоянными и с причинами, неправильно изменяющимися то в одном смысле, то в другом, или не изменяющимися прогрессивно в одном смысле, дают выводы, не зависящие от причин возмущающих».

Хорошо выбранными примерами автор показывает, что этот закон соблюдается как в явлениях вещественных, так и в явлениях моральных. Упомянем о некоторых случаях из мира вещественного. В играх обстоятельства, при которых выпадает одна карта или определенное число точек на кости, изменяются до бесконечности; однако после достаточного числа опытов карта или упомянутое число точек выпадают определенное и постоянное число раз.

Продолжение жизни представляет другой пример постоянства результатов, если рассмотрим достаточное число случаев. Когда возьмем сумму лет, прожитых большим числом лиц, рожденных между двумя неопределенными эпохами, и в стране, в которой состояние гражданственности принимается постоянным, и разделим эту сумму на число лиц, тогда частное, называемое средней жизнью, будет почти одно и то же во всех вычислениях этого рода.

Возьмем третий пример, о котором Пуассон не упоминает, но который объясняет настоящий смысл закона больших чисел.

Положим, что на горизонтальной доске проведены параллельные черты в равных одна от другой расстояниях; бросим на нее произвольно цилиндр определенной длины, но диаметр которого считается ничтожным: вероятность того, что произвольно брошенный цилиндр не встретится ни с одной из параллельных линий, очевидно, определяется углом, образованным цилиндром после его падения, с линией, проведенной через его середину и перпендикулярной к параллельным чертам. В выражение этого угла обязательно входит отношение диаметра к окружности, при числе случаев, в которых цилиндр не встречается с чертами. Из многих опытов можно найти это отношение, остающееся неизменным, когда бы вы ни бросали цилиндр, сейчас или завтра, лишь бы было сделано достаточное число опытов.

Как пример, подтверждающий закон больших чисел в явлениях моральных, можем указать на постоянство пошлины, собираемой судами в известное число лет, хотя она зависит от важности процессов и от охоты к тяжбам. Можем также упомянуть о почти постоянных суммах, которые собирали лотереи и которые обращались в публичных играх.

Итак, нельзя сомневаться, чтобы закон больших чисел не существовал как в явлениях физических, так и в явлениях моральных, зависящих от воли людей, от их интересов, просвещения и страстей; но надо было доказать это a priori, что и сделано Пуассоном. О трудности задачи можно судить по следующему замечанию: Яков Бернулли занимался только одним частным случаем этого общего вопроса и обдумывал его непрерывно двадцать лет. Весьма просвещенные люди упорно думали, что невозможно подчинить вычислению вопросы, которые после Кондорсе и Лапласа рассматривал Пуассон в своем большом сочинении; они полагали, что искуснейший математик никогда не будет иметь точных данных, необходимых для определения условий судейских ошибок в решении дел; но они не принимали во внимание, что эти условия заимствуются из опыта, и достоинство их выводится из умного сравнения среднего числа определений оправдывающих со средним числом определений обвиняющих. Впрочем, недоверчивость публики может показаться основательной, потому что никто из людей гениальных не изложил просто, ясно и точно правил приложения вероятностей к судебным приговорам.

В этом изложении надобно собрать выводы науки, для всех доступные, и освободить их от сложных формул. Только таким образом можно ввести в общее употребление теорию вероятностей.

Лаплас нашел, что при большинстве семи голосов против пяти, вероятность неправильного суда равняется одной пятидесятой, т. е. при упомянутом большинстве голосов из 50 подсудимых ежегодно один осуждается невинно. Впрочем, надобно заметить, что занимающиеся вероятностями полагают существенное различие между подсудимыми виновными и подсудимыми, достойными наказания. Но я не могу останавливаться на этом предмете, не выходя из пределов биографии.

Прежде своих исследований о приложении вероятностей к судебным приговорам, Пуассон рассматривает вопрос о пропорции между числами рождающихся девочек и мальчиков. Записку об этом предмете читал он в академии в начале 1829 года.

Не говоря еще о заключениях из ученых вычислений Пуассона, упомянем о выводах из рассмотрения длинного ряда наблюдений.

Давно уже известно, что во Франции родится более мальчиков, нежели девочек; но спрашивается, точно ли определено числовое между ними отношение? Пуассон нашел, что на пятнадцать девочек родится шестнадцать мальчиков; но прежде принимали отношение двадцати к двадцати двум.

Отношение пятнадцати к шестнадцати принадлежит всей Франции.

Рассматривая отдельно число детей, родившихся вне брака, детей незаконнорожденных, находим здесь отступление от упомянутого отношения: в целой массе народа отношение между незаконнорожденными девочками и мальчиками не более 20 к 21. Но можно предвидеть, что в больших городах существует причина, уменьшающая число родившихся мальчиков как между законными, так и между незаконными. Действительно, в Париже между законными число девочек к мальчикам относится как 25 к 26 вместо 15 к 16; между же незаконными число девочек к числу мальчиков относится как 28 к 29 вместо 20 к 22.

Эти различные результаты выведены из весьма большого числа родившихся, и потому можно иметь к ним полное доверие. Но Пуассон идет далее: он определяет их вероятность, т. е. условия их повторений в будущем. Усовершенствование аналитических способов для решения этого вопроса составляет главный предмет записки знаменитого академика; разрешенная им задача принадлежит к исследованиям вероятностей событий будущих, судя по событиям прошедшим.

Хотя без помощи алгебраических знаков нельзя дать отчета об этом труде Пуассона, однако одно или два приложения его формул может показать их важность и пользу.

Положим, что двенадцать тысяч есть число годичных рождений в департаменте среднего населения; найдем, что можно ставить четыре тысячи против единицы в залог того, что в этом департаменте число девочек не превзойдет числа мальчиков. Несмотря на такую слабую вероятность, вычисленный результат несколько раз оправдывался в продолжение девяти лет. Повторение столь невероятного события, естественно, приводит к подозрению, что условия были вычислены на сомнительном предположении; но здесь допущено только то, что возможность рождения девочек и мальчиков в каждом департаменте и каждый год имела ту же среднюю величину, какую она имеет во всей Франции и в весьма большой период времени, следовательно, такое предложение не совсем точно, и условие рождения мальчиков меняется в местности год от года и в один год в различных местностях.

В начале текущего столетия в некоторой части Франции отношение родившихся девочек к мальчикам было 20 к 22, а теперь оно равняется 15 к 16 во всей Франции. Можно ли считать эту разность случайной? Или, напротив, не показывает ли она действительное приращение в вероятности рождения мальчиков? Вычисления Пуассона отвечают на эти вопросы решительно: они показывают, что в упомянутой части Франции условия рождения мальчиков были слабее условий нашего времени.

Не продолжаю моих замечаний: но понятно, что было бы весьма полезно сделать такие же вычисления для стран, в которых существует многоженство. К сожалению, из этих стран нельзя получить данных, хотя я где-то читал, что в Бомбее ревизия мужского населения показала значительное превосходство рождений мальчиков против рождения девочек. Там почти то же отношение, что в Европе. Заметим мимоходом, что этим нимало не оправдываются правила корана.