Издание «Геометрии положений»

Рассказывают, что один молодой студент, потерявший бодрость от затруднений в первых основаниях математики, пришел посоветоваться к Даламберу; великий геометр сказал ему: «Идите, идите далее; не останавливайтесь, и затруднения уничтожатся».

Совет хорош, и все геометры ему следуют; они также не останавливаются, совершенствуют методы, разнообразят их приложения, не заботясь о некоторых предметах, темных относительно метафизики науки. Но разве поэтому должно оставлять в ней пустые промежутки? Так не думал Карно. Мы уже видели, что некоторые свободные минуты от дел правительственных посвящал он метафизике дифференциального исчисления; уничтожение трибуната позволило ему заняться подобными исследованиями о вопросе, не менее сомнительном, — о количествах отрицательных.

По приведении вопроса в уравнение, алгебраист часто получает решения отрицательные, например, минус 10, минус 50 и пр. Старые алгебраисты не знали, как объяснить подобные решения. Сам Виета пренебрегал ими, считал их бесполезными, не имеющими никакого смысла. Потом привыкли принимать количества отрицательные за количества меньшие нуля, согласно с определениями Ньютона и Эйлера. Это понятие утвердилось даже в обыкновенном языке: каждый мелочный торговец понимает положение своего корреспондента, извещающего об отрицательных барышах. Сама поэзия иногда касается количеств, меньших нуля; свидетельствуюсь в том двумя стихами Шенье:

Qu'ont fait ces nains lettrés qui, sans littérature,
Au-dessou du nèant, soutiennent le Mercure.

Это-то понятие, покровительствуемое авторитетом великих геометров и принятое единодушно всеми грамотными людьми, решился Карно уничтожить неумолимой логикой, не устрашившись общего согласия, которое, как говорят, сильнее Вольтера, Руссо и самого Бонапарта.

Нет ничего проще понятия о количестве отрицательном, когда оно соединено с положительным, превосходящим его своей величиной; но количество отрицательное само по себе, отдельно от других количеств, может ли означать величину, меньшую нуля и потому меньшую количества положительного? Карно, согласно с Даламбером, одним из великих математиков, занимавшихся философией науки, утверждает, что отдельные количества отрицательные нужно употреблять во всех вычислениях, но не в смысле величин, меньших нуля. Несмотря на сухость предмета, приведу здесь одно действие. Никто не спорит, что

+10 к −10 относится, как −10 к +10,

потому что первый член этой пропорции, помноженный на четвертый, дает произведение, равное произведению второго, помноженного на третий. Но здесь первое число +10 более, нежели −10; следовательно, третий член −10 должен быть также более +10. На что же это похоже?

Вот, в сущности, один из тех аргументов, на основании которых наш знаменитый товарищ утверждает, что понятие величины абсолют-ной или сравниваемой не должно применять ни к количествам отрицательным, ни к мнимым; те и другие из этих количеств суть одни алгебраические формы.

Когда гениальный Декарт показал, что все положения возможных кривых линий, их вид и все их свойства могут быть выражены уравнениями, тогда вопрос о количествах отрицательных представился совершенно в новом свете. Знаменитый философ принял за правило, что в геометрии количества эти от положительных отличаются только направлениями линий, выражающих их величины. К сожалению, это простое и глубокое понятие подлежит исключению. Положим, например, что от точки, взятой вне окружности, надо провести прямую так, чтобы ее часть, содержащаяся в окружности, имела определенную величину. Если за неизвестное примем ту часть искомой линии, которая лежит между данной точкой и окружностью, то получим две величины: одну — положительную, соответствующую первой точке пересечения прямой с окружностью, а другую — отрицательную, соответствующую второму ее пересечению с окружностью. Итак, вот две линии, положительная и отрицательная, которые нужно проводить по одну сторону данной точки.

Карно принял намерение уничтожить подобные исключения. Отдельных отрицательных решений он не допускает ни в геометрию, ни в алгебру. Для него эти решения суть разности двух абсолютных количеств; одно из них, которое считалось более другого при составлении уравнения, становится уже менее, когда открывается решение отрицательное. Итак, и в геометрии, и в алгебре отрицательный корень, взятый с +, показывает решение вопроса, отличающегося от вопроса, выражаемого уравнением. Теперь спрашивается: откуда же к разрешаемой геометрической задаче примешиваются вопросы посторонние; почему алгебра дает ответы, которых от нее не спрашивают? Если, например, потребуют от нее определить эллипсис, площадь которого была бы наибольшая из всех эллипсисов, проводимых через четыре данные точки, то она дает три решения, а возможно только одно. Почему, без ведома и без желания геометра, алгебра, так сказать, подсовывает ему и гиперболу, т. е. к кривой с ограниченной площадью алгебра присоединяет кривую с бесконечными ветвями? Такие вопросы достойны объяснения, и теория соответствия фигур и геометрия положений Карно совершенно удовлетворяют этому желанию.

После светлых объяснений Карно всякий смело может применять ко всем формам кривой линии формулу, составленную по одной из этих форм. Читавшие сочинение древних геометров, собрание Паппуса и двух геометров прошедшего столетия, Симеона и Стеватера, поймут великую услугу, которую Карно оказал геометрии. Мне хотелось бы сказать, что его идеи проникли в элементарные сочинения, во множестве выходящие в свет ежегодно, и принесли много пользы учащимся; но, к сожалению, ныне философской частью науки пренебрегают; ныне хотят блистать, пускать пыль в глаза; ныне редкие из профессоров стараются сообщать истинные основания науки; они стараются только приучить своих слушателей к трудным и затейливым формам вычисления. Мне кажется позволительно сказать, что некоторые из математиков употребляют алгебраические вычисления, как хозяева фабрик пользуются паровыми машинами, не зная и не заботясь о законах их действий. Впрочем, нельзя утверждать, что этот ложный способ преподавания есть вынужденная жертва господствующей страсти нашего времени, страсти торопиться во всем. Нет; знаменитые члены нашей академии, в сочинениях по геометрии и статике, разве не показали образцов строгого изложения, соединенного с краткостью, ясностью и основательностью?

«Геометрия положений» Карно не в одном метафизическом отношении принесла пользу науке; не нужно считать еще началом и основанием успехов геометрии, обрабатываемой по способу древних. Множество свойств пространства, открытых нашим товарищем, доказывают силу и плодовитость новых его способов. Позвольте мне оправдать это мнение некоторыми выписками из книги Карно.

«Если через данную точку проведем три взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие сферу, то сумма площадей трех кругов будет всегда одна и та же, при всяком направлении плоскостей, лишь бы они всегда пересекали сферу».

«Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равняется сумме квадратов сторон не параллельных с удвоенным произведением сторон параллельных».

«Во всяком четырехугольнике, плоском или в пространстве, сумма квадратов двух диагоналей равняется двойной сумме двух прямых линий, соединяющих середины сторон противоположных».

Я могу распространить эти выписки до бесконечности и весьма бы желал, чтобы профессора математики сами увидели, каким образом все новые теоремы Карно очевидно и легко выходят из его способов.