4. О рефракции лучей света¹ (сдано г. Эйлером 26 декабря 1738 г. н. ст.)

1. То свойство лучей света, благодаря которому они при прохождении через различные среды отклоняются от прямой линии и испытывают преломление, не без основания приписывается различной скорости движения, с которой лучи переносятся. И если даже относительно самой этой скорости можно выдвинуть много сомнений, то какова бы ни была причина рефракции, ее без всякой ошибки следует отнести к различию скоростей лучей. Таким образом, скорость лучей будет рассматриваться здесь как свойство, вызывающее преломление. Благодаря этому свойству лучи света в любой прозрачной среде имеют данную степень скорости, по которой и определяется величина рефракции.

Первый лист рукописи Л. Эйлера «О рефракции лучей света»

Пусть луч света претерпевает рефракцию такого рода, переходя из одной среды в другую так, чтобы синус угла падения относился к синусу угла преломления, как скорость в первой среде к скорости во второй среде.

2. Итак, если в пустоте или бесконечно разреженном воздухе скорость света полагается равной с, а потом в воздухе, имеющем плотность m, скорость света полагается равной u, то луч света при переходе из пустоты в воздух преломляется таким образом, что синус угла падения будет относиться к синусу угла преломления как По эксперименту же Хоуксби² рефракция лучей при переходе из пустоты в обычный воздух определена так, что синус угла падения относится к синусу угла преломления как 1 000 000 / 999 736. Итак, если плотность этого воздуха полагается равной m, а скорость света равной u, то c/u = 1 000 000 / 999 736. Подобным же образом выясняется, что если луч из этого воздуха переходит в воздух, вдвое более плотный, то синус угла падения будет относиться к синусу угла преломления так же, как 1 000 000 / 999 736.

Если же предполагается, что скорость света в воздухе с плотностью 2m равна 2u³,³ то u будет равно: u = (999 736 · c) / (1 000 000⁴),⁴ а 2u = (999 736 · u) / (1 000 000) = (999 736 / 1 000 000)² заключить, что скорость света в воздухе, плотность которого была бы равна vm, будет равна (999 736 / 1 000 000)^v · c. При проведении же этого эксперимента барометр имел высоту до 29 дюймов 7½ линий.⁵ Термометр же или объем винного спирта занимал 137 делений. Тот же спирт во время замерзания воды занимает 126 делений, во время же наибольшего летнего тепла — 144 деления.⁶

3. Поэтому если бы воздух имел какую-либо неизменную плотность q, то [скорость] лучей света в этом воздухе следует оценить как (0,999736)^q/m · c. А так как 0,999736 = 1 − 236/1 000 000 = 1 − 1/3800,⁷ скорость света в этом воздухе равна:

c · (1 − q/3800m + (q(1 − m)) /(2 · 3800² · m²) − (q(q − m)(q − 2m)) / (6 · 3800³ · m³) + ...).

Для этой скорости можно достаточно надежно принять такое выражение: c − cq / (3800 · m). Плотность же воздуха при неизменной температуре пропорциональна упругости, т. е. высоте ртути в барометре. А при постоянной упругости плотность обратно пропорциональна числу градусов, которые указывает термометр, поскольку эти числа характеризуют расширение воздуха. Итак, если в каком-либо месте наблюдается высота барометра, равная a, а термометр указывает число [градусов, равное] n, то плотность воздуха будет равна m · a/29,625 · 137/n, т. е. если a выражается в дюймах лондонского фута, 4,624 · ma/n.⁸ И в этом воздухе скорость света равна c · (1 − a/(82 · n))ⁿ.

4. Теперь определим изменение плотности воздуха на разных атмосферных высотах. Итак, пусть ACP будет вертикальная прямая, на которой CD будет горизонтальной линией, взятой на поверхности моря. Сама же аппликата⁹ CD выражает плотность воздуха в этом месте, которая будет равна m. На какой-либо высоте P соответствующая аппликата выражает Pm = y — плотность воздуха. Шкала же этих плотностей будет непрерывна до B, места, где воздух приведен к максимальной плотности.

Пусть AC = a, AB = p и AP = x, тогда x будет равен:

x = (b/∛p)l(p/y) + ((p − y)b) / (3p · ∛p).

Вот почему если предполагается, что CP = z, то будет

a + z = (b/∛p)l(p/y) + (b(p − y))/(3p · ∛p).

Пусть z = 0. Положим, что y = m, откуда будет

a = (b/∛p)l(p/m) + (b(p − m))/(3p · ∛p) = AC.

Если z выражается в парижских футах,¹⁰ так, чтобы 2 было неким известным числом, то, как показал эксперимент, если z не будет слишком большим числом, то y будет равно: y = (22 000 · m)/(22 000 + z). И потом b равным образом будет обозначать известное число парижских футов, которое мы таким образом и найдем.

5. Пусть z будет бесконечно малое число y = m − mz/22 000 и потому

a + z = (b / ∛p)l(p/m) + (b(p − m))/(3p · ∛p) + z = (b / ∛p)l(p/m) + bz/(22 0000 · ∛p) + ((p − m)b)/(3p · ∛p) + bmz/(3 · 22 000 · p · ∛p)

откуда будет:

Проведенный же эксперимент по сжимаемости воздуха показал,¹¹ что p = 64m,¹² откуда будет b = 87 544 · ∛m. Итак, мы имеем:

a = 87 544 · (∛(m/p))l(p/m) + (87 544(p − m))/(3p) ∛(m/p) = 21 886 · l · 64 + 7181¹³

и

21 886 · l · 64 + 7181 + z = 21 886 · l (64m/y) + (87 544 (64m − y)/(768m)).

Или:

z = 21 886 · l(m/y) + (113 (95/96)(m − y))/(m),¹⁴ откуда мы получим соотношение между плотностью воздуха и высотой над уровнем моря,¹⁵ опять очень близкое к y = e^{(− z/(21 886 · m))}. На этой же высоте скорость распространения света в воздухе будет равна: c (1 − e^{(− z/21 886)}/3800), откуда можно будет определить рефракцию, которую претерпевают лучи, проходящие через атмосферу. Сделаем то же рассмотрение менее широким и воспользуемся вместо определенных чисел неопределенными и на высоте z положим скорость света равной c (1 − e^{(− z/η)}/λ).

6. Теперь пусть C — центр Земли, AQ — поверхность Земли, а A — место, в котором наблюдается луч света под углом ∠NAC; прямая NA проведена по касательной к кривой AMm, с которой луч [света] образует в точке наблюдения A угол ∠NAα или дополнение к повышению над горизонтом в месте наблюдения, синус которого равен α, а полный синус равен единице. Из чего мы определим свойства кривой AMm, которую образует луч.¹⁶ Пусть полудиаметр Земли AC = a, QM = z, и на касательную MP из точки C опустим перпендикуляр CP= p. Затем в ближайшей окрестности [этой точки] проведем построение qm = z + ∂z и перпендикуляр CP = p + ∂p, причем mp будет касательной к кривой, построенной в точке m. Вследствие этого CM будет равно: СМ = a + z, a PM = √((ca + z)² − p²), откуда синус угла ∠PmC равен p/(a + z + ∂z) = p/(a + z) − p∂z/(a + z)². Синус же угла ∠Pmc [равен] sin ∠nmμ = (p + ∂p)/(a + z + ∂z)¹⁷ = p/(a + z) + ((a + z)∂p − p∂z)/(a + z)².

И в самом деле, угол ∠nmμ — это угол падения луча μm в слое атмосферы ms, а ∠Pmc — угол преломления. Вот почему если предполагается, что скорость луча света, с которой он проходит через mM, равна z, то скорость, которую он будет иметь при прохождении через выше расположенный слой, будет равна mμ = z + ∂z, откуда по свойству преломления будет:

z + ∂z: z = p/(a + z) + ((a + z)∂p − p∂z)/(a + z)²: p/(a + z) − p∂z/(a + z)²

или

(z(a + z)∂p − zp∂z)/(a + z)² = p∂z/(a + z) − zp∂z/(a + z)².

Так что будет: z∂p = p∂z. Интегрирование этого уравнения даст p/z = const, в соответствии со свойством кривой AMm, которую образует луч света.

7. Когда же из-за уменьшения плотности воздуха z будет равно z = c (1 − e^(−z/η)/λ) или синус угла ∠CMP полагается равным s из-за p/(a + z) = s, то получится

(a + z)s = Cc (1 − e^(−z/η)/λ).

Постоянная же C определится при совмещении точки M с точкой A, в которой z будет z = 0 и s = α, откуда

aα = Cc (1 − 1/λ), или Cc = aα/(1 − 1/λ)

Вот почему из-за кривизны этого луча получается определенное уравнение

(a + z)s = aα/(1 − 1/λ) (1 − e^(−z/η)/λ) = (aα (λ − e^(−z/η))/ (λ − 1),

[откуда] получаются λ = 3800 и η = 21 886, если z выражается в парижских футах. Итак, отсюда будет синус угла ∠CMP = s = (aα (λ − e^(−z/η))/ ((a + z)(λ − 1))

8. Пусть синус угла ∠ACQ = x, а косинус равен √(1 − x²),¹⁸ дуга же будет равна AQ = a · дугу, синус которой равен x, и угол ∠QCq = ∂x/(√(1 − x²)). Откуда будет Mr = ((a + z)∂x) / (√(1 − x²)) и Mm = √(c∂z² + ((a + z)²∂x²)/(1 − x²)) и потому синус угла ∠CMP = s = ((a + z)∂x)/√((1 − x²)∂z² + (a + z)²∂z²) = (aα (λ − e^(−z/η))/ ((λ − 1)(a + z)), что приведется к такому уравнению:

∂x/√(1 − x²) = (aα (λ − e^(−z/η))∂z)/((a + z)√(c(λ − 1)∂z²(a + z)∂z² − a²α² (λ − e^(−z/η))²))

В этом уравнении переменные x и z отделены друг от друга.

9. Угол же ∠ACQ найден по высоте z, или наоборот. Синус угла ∠ANC будет равен α√(1 − x²) − x√(1 − α²), и отсюда

CN = aα/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))

и

AN = ax/(α√(c(1 − x²)) − x√(1 − α²)),

откуда MN будет равно:

MN = aα/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) − a − z.

Итак, если провести хорду MA, которая представляет собой луч света, идущий из M в [точку] A, если он не претерпевает никакого преломления, то тангенс угла ∠MAN находится [из выражения]:¹⁹

[tg ∠MAN] = (aα(α√(1 − x²) − x√(1 − α²) − (a + z)[α√(1 − x²) − x√(1 − α²)]²)) / (ax − [aα − (a + z)(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))](αx + √((1 − x²) (1 − α²)))).

И этот угол следует добавлять к наблюдавшемуся углу ∠MAα, чтобы получить истинный угол ∠MAα, на который объект M отстоит от зенита α, или же что найденное из наблюдений повышение объекта над горизонтом следует уменьшить на тот же самый угол. Проведенный же из [точки] M к [прямой] AN перпендикуляр MR равен:

MR = aα − (a + z)(α√(1 − x²) − x√(1 − α²))

и

AR = αx/(α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) − (aα[αx + √((1 − x²) (1 − α²))])/ (α√(1 − x²) − x√(1 − α²)) + (a + z)[αx + √((1 − x²) (1 − α²))].

10. Положим, что AR = u и RM = y, [тогда] AM = √(u² + y²) и синус угла ∠RAM = y/√(u² + y²), а [его] косинус равен u/√(u² + y²). Отсюда будет²⁰ синус угла ∠MAα равен (αu + y√(1 − α²))/√(y² + u²), а [его] косинус равен (u√(1 − α²) − αy)/√(u² + y²) и потому

CM = √(a² + u² + y²) + 2au · √((1 − α²) − 2aαy) = a + z

и

(a + z): (αu + y√(1 − α²))/√(u² + y²) = √(u² + y²): x,

11. Пусть расстояние z будет очень малым по сравнению с радиусом a. [Тогда] будет:

e^(−z/η) = 1 − z/η.

И потом:

∂x/√(1 − x²) = (αa(λ − 1 − z/η)∂z(1/a − z/a²)) / √((λ − 1)²(a + z)² − a²α²(λ − 1 + z/η)²).

Отсюда

1/²([(λ − 1)² − a²α²(λ − 1 + z/η)²]) = [(λ − 1)²a²(1 − α²) + 2az(λ − 1)² − (2(λ − 1)a²α²z)/η]^−½ = 1/((λ − 1)a√(1 − α²)) − (aηz(λ − 1)² + a²α²(λ − 1)²z) / (η(λ − 1)³a³(1 − α²)^3/2),

что следует умножить на (λ − 1)α − ((λ − 1)αz)/α + αz/η.

Итак, из-за того, что x = 0, [получим] приближенно:²¹

∂x = α∂z/(a√(1 − α²)) − z∂z((αη(λ − 1) − aα³)/(ηa²(λ − 1)(1 − α²)^3/2) + ((λ − 1)αη − aα)/(ηa²(λ − 1)√(1 − α))),

z = (ax√(1 − α²))/α.

Пусть будет:

MR = aα − aα − ax√(1 − α²) + (ax²(1 − α²))/α.

итак, MR = (ax²(2 − α²))/2α, а так как α√(1 − x²) − x√(1 − α²) = α − αx²/2 − x√(1 − α²), то AR = ax/α, откуда тангенс угла ∠MAN будет равен x(1 − (1/2)α²).²²

12. Если же по x определить z, то можно будет найти и тангенс угла ∠MAN, на который следует увеличить полученное из наблюдений расстояние объекта M от зенита; тангенс [угла ∠MAN] равен (αz)/(2η(λ − 1)(1 − α²)), а так как λ = 3800 и η = 21 886, то будет 2η(λ − 1) = 166 333 600, потому что в самом деле (az)/√(1 − α²) = ax. Тангенс угла ∠MAN будет равен (ax)/ 166 333 600 = (9/76)x.

Правило. Итак, высота любого наблюдаемого объекта всегда должна быть уменьшена на угол, который относится к углу удаления объекта в месте наблюдения от Земли, как 9 к 76.

Путем наблюдения единичного объекта, высота которого и его расстояние от какого-либо места наблюдения иные, можно определить более точное отношение: 9 : 76.

Примечания

1. Латинский оригинал Л. Эйлера хранится в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ф. 136, оп. 1, д. 125, л. 1—2 об.), копия рукописи, сделанная рукой Ж.Н. Делиля, — в Архиве Парижской обсерватории (шифр A21, л. 1—4).

2. Френсис Хоуксби измерил показатель преломления различных жидкостей, провел эксперименты по рефракции и дифракции света. 11 наблюдений Хоуксби по дифракции И. Ньютон включил во второе издание своей «Оптики» (1717 г.).

3. У Эйлера: u2.

4. Делиль допустил здесь ошибку при копировании. У него было: u = 999 937/1 000 000.

5. 29 дюймов 7½ линий составляют 74,829 см.

6. По-видимому, Л. Эйлер пользуется Делилевой шкалой термометра, имевшей 150 делений. В переводе на шкалу Цельсия 137° = 11°C, а 144 = 18°C.

7. Здесь Л. Эйлер допустил ошибку в вычислениях, которая была замечена Г.В. Крафтом и исправлена в оригинале Л. Эйлера: 0,999736 = 1 − 264/1 000 000 = 1 − 33/225 000 ≃ 1 − 1/3787 ≃ 1 − 1/3800.

8. Т. е. 1,409 м · ma/n.

9. В современной терминологии — абсцисса. К разделу 4 Эйлер привел чертеж № 1 (л. 1 об.), который Делилем перенесен в конец статьи.

10. 1 парижский фут равен 0,32484 м.

11. По-видимому, здесь имеются в виду эксперименты, представлявшие собой видоизмененное повторение опытов Ж.Н. Делиля 1712 г. по измерению скорости распространения в атмосфере звука грома и света молнии. Они проводились Д. Бернулли и Л. Эйлером летом 1727 г. в Петербурге. При стрельбе из пушки вертикально вверх измерялась скорость распространения в атмосфере света и звука. На основе этих экспериментов Эйлер пришел к выводу о существовании предела сжимаемости воздуха, что послужило основой для разработки им своеобразной модели земной атмосферы, применявшейся затем и к атмосферам других небесных тел.

12. Первоначально у Л. Эйлера было: bp = 64m. По указанию Делиля в формулу внесена поправка: b вычеркнуто.

13. У Эйлера было: 10 600. Число зачеркнуто и исправлено на 7181, вероятно рукой Г.В. Крафта.

14. Под этой строчкой мелко вписано рукой Г.В. Крафта: z = 22 000×l(m/y) + (22 000 (m − y))/3p, y = (m(22 000 − z)/22 000).

15. у Эйлера буквально: «на уровне моря» (в оригинале: altitudines supra libellam aqua).

16. В оригинале здесь приведен чертеж № 2, который Делиль дал в конце статьи.

17. У Делиля здесь описка: (p + ∂p)/(a + z + ∂).

18. У Эйлера здесь и ниже — устаревшие обозначения √(1 − x · x). В русском переводе дана принятая сейчас система записи.

19. Здесь и ниже у Эйлера и Делиля много расхождений. Часто путаются a и α, x и α, скобки и т. д., плюсы вместо минусов и т. п.

20. Слово «fiet» у Эйлера Делиль заменил на «sit».

21. Делиль допустил здесь описку: в числителе второго члена, стоящего в скобках, вместо η написано y, а в знаменателе первого члена, стоящего в скобках, (1 − α²)^3/2 заменено на (1 − a²)^3/2.

22. В следующем выражении Делиль допустил описку: заменил α на a в последнем члене левой части и втором члене правой части.