Ньютон и закон всемирного тяготения

В 1665—1666 годах в Лондоне свирепствовала чума, и Ньютон много времени проводил на ферме в Вулсторпе. Ему было всего 24 года, но историки считают, что именно в это время Ньютон задумался о причинах тяжести, а следовательно, и о движениях планет и их спутников. Мысли эти привели его к созданию великого закона всемирного тяготения...

Закон всемирного тяготения сегодня известен каждому школьнику. Знают все и анекдот об упавшем яблоке, которое якобы явилось причиной открытия великого закона.

Но как связать падение яблока со всемирным тяготением?..

Рассказ о яблоке имеет некоторую степень достоверности. Современник Ньютона Стекелей писал в конце жизни: «После обеда погода была жаркая; мы перешли в сад и пили чай под тенью нескольких яблонь; были только мы вдвоем. Между прочим, сэр Исаак сказал мне, что точно в такой же обстановке он находился, когда впервые ему пришла в голову мысль о тяготении. Она была вызвана падением яблока, когда он сидел, погрузившись в думы. Почему яблоко всегда падает отвесно, подумал он про себя, почему не в сторону, а всегда к центру Земли? Должна существовать притягательная сила в материи, сосредоточенная в центре Земли. Если материя та тянет другую материю, то должна существовать пропорциональность ее количеству. Должна, следовательно, существовать сила, подобная той, которую мы называем тяжестью, простирающаяся по всей Вселенной...»

«Этот рассказ мало кому был известен, — пишет академик Вавилов, — но зато весь мир узнал похожий на анекдот пересказ Вольтера, слыхавшего об этом случае от племянницы Ньютона». Вольтеровский анекдот имел успех. А вскоре после смерти Ньютона предприимчивые наследники стали показывать и яблоню, явившуюся, так сказать, первопричиной открытия великого закона.

А теперь, прежде чем мы попытаемся одним глазком заглянуть в творческую лабораторию великого ученого, давайте вспомним современную формулировку закона всемирного тяготения: «Всякие два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». На языке математики то же самое можно записать значительно короче F ~ M₁M₂/r², где F — сила притяжения, M₁ и M₂ — массы притягивающихся тел, r² — квадрат расстояния между тяготеющими массами. Если ввести коэффициент пропорциональности k, то формула получит совсем привычный вид: F = k(M₁M₂/r²). Такой мы ее много раз видели в учебниках. Кажется все так просто, правда? Но это только тогда, когда закон уже открыт, когда к нему все привыкли, если и в голове ни у кого не умещается мысль, что было время, когда люди не знали такого простого и замечательного правила. Впрочем, ни одна теория не строится на пустом месте. После этой фразы мы и оказываемся прямо на пороге творческой лаборатории. О чем же знал Ньютон, размышляя над взаимной связью небесных тел? И что в этом направлении было сделано до него?

Помните «законодателя небес» Иоганна Кеплера? Три его закона произвели переворот во взглядах на Вселенную, заставили отказаться от привычного представления о планетных орбитах как правильных окружностях, разрушили представление о планетных сферах. Законы Кеплера просто и точно описывали движения небесных тел, но... в этих законах автор ни словом не обмолвился о причинах такого движения. Между тем мысли ученых людей XVII века все чаще и чаще обращались к такому вопросу: какая же это сила действует на планеты, заставляет их сворачивать со свободного прямолинейного пути и двигаться по эллипсам вокруг Солнца? В чем кроется причина этой силы? Какова природа ее?..

Сам Кеплер искал первопричину в Солнце. Силы, исходящие из могучего светила, должны были, по его мнению, подталкивать планеты. О природе этой «солнечной силы» астроном не задумывался. Со времен древних философов небо считалось чуждым Земле миром, и его законы не имели ничего общего с земными. А потому нечего было и думать об их природе. В небе властвовал бог! Лишь после того, как Галилей открыл закон инерции, объединивший движение тел в мировом пространстве и на земной поверхности, древняя точка зрения оказалась несостоятельной. Люди увидели, что земные и небесные явления подчиняются единым правилам. А не означало ли это, что и природа их была одной и той же? Из этого предположения напрашивается вывод еще более смелый: так ли уж отличается мир неба от мира Земли? А это уже очень походило на косвенное посягательство на авторитет бога.

Чтобы поддержать идею о единстве мира, надо было придумать механизм действия небесных сил, схожий с каким-то явлением на Земле. И вот французский естествоиспытатель и философ Рене Декарт (1596—1650) выдвигает гипотезу о существовании вихрей в мировом эфире. Подобно тому как знакомые всем вихри на Земле увлекают в своем движении пыль и сухие листья, могучие вихри эфира вовлекают в свое движение небесные тела. Гипотеза Декарта давала очень наглядную картину и пользовалась в свое время большой популярностью. Но и в ней ни слова не говорилось о том, какая это сила, — вихри, и все. Правда, многие догадывались о том, что главную роль здесь должны играть силы притяжения. Существовала очень любопытная гипотеза итальянского натуралиста Джованни Борелли (1608—1679). Одно время он изучал движение спутников Юпитера и пришел к выводу, что движение небесных тел объясняется взаимодействием двух сил: одной — направленной к центру вращения, и другой — от центра. Предположим, рассуждал Борелли, что планета находится на таком расстоянии от Солнца и движется с такой скоростью, что стремление от центра (сегодня мы называем его «центробежной силой») меньше силы притяжения. Тогда планета начнет приближаться к светилу по спирали, пока обе силы не уравновесятся. Но вот по инерции, открытой Галилеем, планета проскочила нейтральную орбиту и подошла к Солнцу ближе положенного. Тогда сохранившаяся скорость движения заставит центробежную силу преодолеть притяжение. И планета снова начнет удаляться от светила по спирали...

В гипотезе Борелли нет ни строчки математических доказательств. Он просто предполагает существование силы притяжения и из нее логически выводит криволинейное движение планеты.

Ньютон знал об этой гипотезе. Но отсутствие математики, отсутствие количественного анализа его не удовлетворяло. «Гипотез не изобретаю», — любил повторять английский ученый. Он только кратко формулировал результаты наблюдаемого действия. И эти формулировки, выведенные с помощью логики и математических расчетов, становились законами.

Работая над вопросами тяготения, Ньютон много внимания уделял теории движения Луны. Это очень сложная математическая задача, решить которую сначала нужно было принципиально. «Что удерживает Луну от падения на Землю и какая сила движет ею по орбите?» Ученый думал упорно и в конце концов понял, что никакой силы для движения тела в пустоте прилагать не нужно. Ведь именно это следует из первого закона движения Галилея. Если на тело не действует никакая сила, то оно продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Правда, в законе речь идет о прямолинейном движении. А Луна и планеты движутся криволинейно. Значит, сила нужна не для того, чтобы планеты двигались вообще, а лишь для того, чтобы искривить траекторию их движения! Что же это за сила? Откуда она взялась и чему равна? Не попробовать ли применить к полету по орбите второй закон движения: сила пропорциональна произведению массы на ускорение? Орбита Луны и других планет — почти окружность. Ускорение же равномерного движения по окружности всегда направлено к центру по радиусу и равно квадрату скорости, разделенному на этот радиус (v²/R). Тогда и сила должна иметь направление по радиусу к центру орбиты. То есть Луна в своем движении вокруг Земли должна постоянно испытывать ускорение в сторону нашей планеты. Иначе говоря, двигаясь свободно, прямолинейно в пространстве, Луна все время под действием какой-то силы падает на Землю. Падает, но никак не может упасть. Потому что в каждый последующий момент она, падая с прямолинейного пути, пролетает такое расстояние, что снова и снова оказывается на орбите. Так, как это показано на рисунке. А откуда берется эта сила? Вот тут-то и пришла очередь яблока.

Схема «вечного падения» Луны на Землю

Если Земля притягивает яблоко, заставляя его падать на поверхность планеты, то чем Луна хуже яблока? И Ньютон предположил, что именно тяжесть или — более привычно — вес Луны удерживает ее на орбите, не дает улететь в пространство. Дальше ход его рассуждений шел примерно в таком направлении: если бы Луна находилась, как яблоко, совсем близко к поверхности Земли, ускорение свободного падения у нее было бы такое же, как у яблока. То есть примерно 9,81 м/сек². Но Луна — дальше. Какое же ускорение должна она иметь на своей орбите?.. Тут нужно было посчитать! Но для точных расчетов требовались и точные сведения об орбите Луны, о периоде ее обращения... Ньютон же наблюдениями не занимался. Приходилось обращаться с просьбами к королевскому астроному Флемстиду, который как раз в это время скрупулезно наблюдал движение нашего спутника. Однако упрямый и желчный королевский астроном вовсе не был намерен потакать «причудам мистера Ньютона», как он неоднократно выражался. Это приводило к осложнениям и неприятным спорам. Ньютон споров не любил. И тем не менее буквально ни один его самостоятельный научный шаг не обходился без дискуссии.

Вопросы связи силы тяжести с законами Кеплера стояли в центре внимания всего ученого общества того времени и вызывали к себе весьма ревнивое отношение со стороны многих джентльменов.

Однажды астроном Галлей встретился в лондонской кофейне с архитектором Реном — строителем знаменитого собора святого Павла в Лондоне — и Робертом Гуком, физиком, математиком, экспериментатором и теоретиком, которого вечно обуревали тысячи идей и ни одну из них он не доводил до конца. Разговор зашел о науке, о научных проблемах. Оказалось, что все трое отдали немало времени и сил одной и той же задаче — доказательству, что под действием силы тяжести, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояний, движение небесных тел должно совершаться по эллиптическим орбитам. Но никто успехом похвастаться не мог. Тогда Рен, самый богатый из всех троих, чисто в английском вкусе, предложил на пари выплатить премию тому, кто решит проблему.

Как-то, зайдя к Ньютону, Галлей рассказал тому о споре и о пари, заключенном в кофейне. А когда через некоторое время случай снова привел молодого астронома в Кембридж, Ньютон сообщил ему, что решение задачи у него в руках. И ровно через месяц Галлей получил от Ньютона рукопись краткого мемуара с объяснением решения. По просьбе Ньютона мемуар этот не был напечатан в журнале Королевского общества, но его зарегистрировали на случай споров о приоритете.

Естественно, мы не можем восстановить все детали сложного логического пути, которым Ньютон пришел к закону всемирного тяготения. Но если вы любите математику, то можете попробовать самостоятельно разобраться в ходе конечных рассуждений великого физика. Для этого подведем краткий итог того, что было известно.

1. Ньютон знал примерное расстояние от Земли до Луны — шестьдесят земных радиусов.

2. Известно ему было и ускорение свободного падения тела у поверхности Земли — 9,81 м/сек².

3. Знал он и замечательные законы Кеплера и Галилея.

4. Наконец, идея того, что тяготение между двумя небесными телами должно быть обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, витала в воздухе.

Вряд ли можно проследить точно тот путь, по которому мысль гения стремится к поставленной перед собой цели. Но попробуем вывести закон всемирного тяготения, используя только те данные, которые были известны Ньютону.

Итак, прежде всего некоторое допущение, для упрощения расчетов. Вы помните, что Кеплер доказал: орбиты планет — эллипсы. Но эллипсы с очень незначительными эксцентриситетами. Поэтому, ради простоты, примем их за окружности с Солнцем, расположенным точно в центре. И рассмотрим движение какой-то планеты, делающей один оборот по круговой орбите.

Прежде всего вспомним несколько формул из курса физики: скорость движения V прямо пропорциональна пути и обратно пропорциональна времени движения: V = S/T. Здесь путь планеты S (ее орбита) равен длине окружности S = 2πR. А время движения T есть время одного оборота (или период обращения). R — радиус-расстояние от планеты до Солнца. Подставив введенные обозначения, мы получим скорость движения планеты по орбите в виде формулы: V = 2πR/T.

Теперь найдем ускорение, которое испытывает наша планета, двигаясь по круговой орбите: a = 2πV/T.

Объединив два последних уравнения, получим формулу для ускорения в виде: a = 4π²R/T².

Вот когда можно переходить к главной задаче — искать выражение для силы F, создающей найденное нами ускорение a.

Согласно закону, выведенному самим Ньютоном, сила равна произведению ускорения тела на его массу m₁; F = a·m₁. Подставив в эту формулу выражение для полученного нами ускорения, мы получим: F = (4π²R/T²) ·m₁. Чтобы исключить из уравнения период и выразить силу только через массу и расстояние, Ньютон использовал третий закон Кеплера, гласящий, что квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца. Что на языке математики имеет вид: R₁³/R₂³ = T₁²/T₂². Из этого закона легко понять, что отношение куба расстояния к квадрату периода обращения — величина постоянная. Обозначим ее k, тогда: R₁³/T₁² = k, или T² = R₁³/k. Выражение T² подставим в уравнение для силы притяжения: F = 4π²k(m₁/R₁²)). Мы получили математическое выражение закона обратных квадратов. Но это еще не закон всемирного тяготения. Еще нужно решить, что представляет собой множитель k.

Из третьего закона Кеплера видно, что величина этого множителя одна и та же для любой планеты, обращающейся вокруг Солнца. Значит, и зависеть этот коэффициент может только от Солнца как центрального тела системы. Тогда силу притяжения между Солнцем и нашей планетой с массой m₁ можно выразить тем же уравнением, но с солнечным коэффициентом k⊙:F = (4π²k⊙/R₁²)·m₁.

Ньютон первым предположил, что величина 4π²k⊙ пропорциональна массе Солнца, скажем, так: 4π²k⊙ = Gm⊙, где m⊙ — масса Солнца, а G — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, уравнение взаимного притяжения между Солнцем и выбранной нами планетой будет иметь вид: F₁ = G((m⊙·m₁)/R₁²). Точно так же для Солнца и Земли: F₂ = G((m⊙·m⊕)/R_⊕²).

Но чем отличается, например, система Солнце — Земля от системы Земля — Луна? В принципе ничем. То же центральное тело, вокруг которого обращается другое небесное тело. Значит, для системы Земля — Луна тоже должно быть справедливо уравнение, выведенное раньше.

Только массы и расстояния нужно подставить в него другие...

Наконец наступила пора перейти к закону всемирного тяготения и написать его в общем виде для любых двух тел во Вселенной: F = G((m₁·m₂)/R²).

Вот какой примерно путь нужно было проделать только формально, чтобы, имея под рукой готовые формулы и точно зная направление, сформулировать величайший фундаментальный закон природы.

Зная расстояние от Земли до Луны и ускорение силы тяжести на поверхности нашей планеты, Ньютон нашел ускорение Луны. Сравнив его с точными наблюдениями Флемстида, он убедился, что его результат весьма близок к истине.

Год спустя после появления мемуара «О движении», в большой степени благодаря убеждениям и уговорам Галлея, появилась сначала рукопись, а затем и первая книга манускрипта, названного Ньютоном «Математические начала натуральной философии».

— Сэр Исаак разработал руду, которую я откопал, — ядовито, хотя и не без горечи заметил Флемстид.

— Если он откопал руду, то я смастерил из нее золотое кольцо, — отпарировал Ньютон, который, несмотря на нелюбовь к спорам, еще меньше любил, когда о его работе отзывались без должного уважения и последнее слово в дискуссии оставалось за противником.

Ньютоновские «Начала» были удивительной книгой. «По убедительности аргументации, подкрепленной физическими доказательствами, книга эта не имеет себе равных во всей истории науки, — пишет Джон Бернал. — В математическом отношении ее можно сравнить только с «Элементами» Евклида, а по глубине физического анализа и влиянию на идеи того времени — только с «Происхождением видов» Дарвина».

Решающий вывод о том, что сила, заставляющая тела падать на Землю, и сила, заставляющая Луну обращаться вокруг нашей планеты, одна и та же, имел большое философское значение.

Три основных закона механики и закон всемирного тяготения оказались универсальными для Земли и для неба. Это еще раз подчеркивало единство мира, который некогда делился философами на две несовместимые части — земную и небесную.

Принципы Ньютона без дополнительных условий, гипотез и допущений объясняли движения тел в космосе и на Земле. И все-таки теория всемирного тяготения не сразу завоевала всеобщее признание. Во Франции, да и в самой Англии, еще долгое время пользовались учебниками, построенными на взглядах Декарта.

В заключение можно сказать, что скорее Луна, а не знаменитое яблоко, подтолкнула мысль Ньютона к созданию теории тяготения. Но только «подтолкнула», потому что одна лишь теория движения Луны дать закон ВСЕМИРНОГО тяготения не могла. Она была бы недостаточно убедительной. Следовало распространить выведенный закон и на остальные небесные тела. Но для этого надо было доказать, что планеты удерживает на орбитах та же сила. Исходя из гипотезы о всемирном притяжении Ньютон математически строго вывел законы Кеплера и подтвердил стройную кеплеровскую картину мироздания. Отныне одним и тем же законам подчинялись и планеты, и их спутники, даже редкие гости — «вестники ужаса» — кометы. Отныне все небесные тела двигались по единой рациональной схеме.

Согласитесь, дорогой читатель, что большего требовать от человека, даже такого, как Ньютон, невозможно.

Исследуя движение Луны, он пришел к выводу, что на нее действует не только земное притяжение. Многие силы отклоняли ее с пути равномерного кругового движения. Так, при новолунии наш спутник на расстояние диаметра орбиты ближе к Солнцу, чем при полнолунии. Значит, сила солнечного притяжения меняется, и это ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Кроме того, зимой Земля ближе к Солнцу, чем летом. Это тоже влияет на скорость движения Луны, но уже с годичным периодом.

Изменение солнечного притяжения меняет эллиптичность лунной орбиты, отклоняет ее плоскость, заставляя ее медленно вращаться.

Разработать теорию движения Луны полностью, во всех деталях, то есть рассчитать траекторию нашего спутника с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца, чрезвычайно трудно. Это знаменитая в истории астрономии «проблема трех тел»... Задача, сыгравшая огромную роль в развитии и становлении теоретической «астрономии тяготения», превратившейся в широкую отрасль науки, называемую «небесной механикой».

Открыть свои замечательные законы движения планет удалось Кеплеру лишь потому, что масса Солнца во много раз больше массы всех планет (примерно в 750 раз). Поэтому влияние планет друг на друга несравнимо меньше, чем влияние центрального светила. Фактически, в первом приближении, рассматривать движение каждой планеты можно вообще не обращая внимания на существование остальных членов солнечного семейства. Только планета и Солнце, и тогда это — «задача двух тел», решение которой относительно несложно.

Слово «относительно» здесь не случайно, потому что вы, наверное, помните, что Кеплер, решив задачу практически, так и не смог объяснить, почему небесные тела движутся по эллиптическим орбитам. Ньютон заново четко сформулировал условия «задачи двух тел» и очень изящно решил ее. Он доказал, что «под действием силы взаимного тяготения, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, одно тело будет описывать вокруг другого конические сечения — эллипс, параболу или гиперболу, в зависимости от начальной скорости».

Решение Ньютона приближенное. Стоит добавить в условия влияние третьего тела, как задача неимоверно усложнится. Ньютон первым понял это, и именно ему принадлежит честь формулировки «задачи трех тел». Однако решить ее не смог даже он.

Немало людей бралось за нее в дальнейшем, но лишь в 1912 году финскому математику Сундману удалось получить впервые решение «задачи трех тел» в виде так называемых бесконечных рядов. К сожалению, это сложное теоретическое решение почти ничего не дает практике. Между тем сегодня, в век развития космонавтики, «задача трех тел» приобретает особое значение. И, судя по успехам полетов советских автоматических межпланетных станций, вы понимаете, что она решается, и решается неплохо. Но достигается это большим трудом и только с помощью таких замечательных помощников человека, как электронные счетные машины.

Решил Ньютон и другую, чрезвычайно интересную задачу. Он сравнил силу притяжения одних тел другими с силой притяжения Луны Землей и узнал, например, во сколько раз Солнце или Юпитер тяжелее Земли. Он оценил массы Солнца и всех известных ему планет и их спутников в единицах массы нашей планеты! Это было замечательным достижением гениального ученого.

Не все идеи Ньютона получали безоговорочное признание. Интересен спор, который возник между английскими и французскими астрономами по поводу формы Земли. Начался он с того, что в 1671 году французская астрономическая экспедиция отправилась к экватору, чтобы в условиях темного безоблачного неба наблюдать звезды. Но славу экспедиции принесло другое, совершенно случайное открытие. Для измерений времени при наблюдениях астроном Рише — один из членов экспедиции — захватил с собой из Франции маятниковые часы. Прибыв в Кайенну, Рише заметил, что часы стали отставать в сутки на две минуты. Пришлось укоротить маятник. Однако по возвращении в Париж часы «побежали», опережая истинное время опять на две минуты. Рише задумался и пришел к выводу, что на экваторе центробежная сила уменьшает тяготение.

Ньютон не мог согласиться с таким утверждением. Зная радиус Земли и скорость ее вращения, центробежную силу трудно вычислить. Она получалась значительно меньшей, чем нужно для объяснения опыта с маятником.

Обдумывая этот вопрос, Ньютон произвел мысленный эксперимент. «Предположим, — говорил он себе, — что у нас есть две шахты. Одна — от полюса к центру Земли, другая — от экватора к центру. Заполним обе шахты водой. Однако, поскольку Земля вращается, на экваторе действует еще и центростремительная сила. Значит, вес воды в экваториальной шахте должен быть больше, чем в полярной. А это значит, что и воды там должно быть больше. Но если обе шахты — от поверхности до центра, следовательно, радиус Земли по экватору должен быть больше радиуса полярного». Ньютон подсчитал разницу и получил примерно 24 километра¹. Это навело его на мысль, что некогда, на заре возникновения, Земля была пластичной. В результате вращения ее тело сплюснулось...

Схема мысленного опыта Ньютона по оценке экваториальной выпуклости Земли

Примерно в то же время французские астрономы предприняли измерение дуги меридиана. Экспедиции вели работы на разных широтах и в результате пришли к выводу, что Земля не сплюснута у полюсов, а, наоборот, вытянута. Французы вообще довольно долго не признавали взглядов Ньютона, отдавая предпочтение философии своего соотечественника Декарта. В конце концов, разногласия точек зрения зашли так далеко, что вызвали насмешку остроумного Вольтера. Вот что писал он в 1730 году в своих «Письмах из Лондона об английском»:

«Француз, который попадет в Лондон, обнаруживает, что все совершенно изменилось в философии — точно так же, как и во всем другом. Там он оставил заполненный мир, здесь — нашел его пустым. В Париже вы видели Вселенную, наполненную круговыми вихрями из тончайшей материи, в Лондоне вы ничего этого не видите. У французов давление Луны вызывает приливы на море, у англичан море притягивается к Луне...

Кроме того, вы можете заметить, что Солнце, которое во Франции в это дело не вмешивается, здесь вносит в него свою четвертую часть. У картезианцев² все происходит благодаря давлению, которое, правда, само непонятно. У месье Ньютона все происходит благодаря притяжению, причина которого известна ничуть не лучше. В Париже Земле придают форму дыни, в Лондоне она сплюснута у полюсов».

Впрочем, этот сарказм не помешал Вольтеру в специальном сочинении «Элементы философии Ньютона» блестяще рассказать о сути ньютоновской теории и стать горячим пропагандистом идей Ньютона у себя на родине.

Для разрешения споров о форме нашей планеты понадобились новые тщательные исследования и измерения Земли. Французская академия снарядила две новые экспедиции. Одну — в Перу, другую — в Лапландию. Результаты их работ подтвердили правоту Ньютона.

С помощью таких же рассуждений доказал Ньютон и сплюснутость Юпитера. Более того, поскольку гигантская планета вращается быстрее Земли, то и сжата она у полюсов должна быть сильнее.

Прошло всего четыре года после выхода «Начал» — и это утверждение Ньютона было подтверждено путем наблюдений...

Ньютон занимался и вопросом о «маленьких лунах».

Траектории движения тел в поле притяжения Земли

Проделаем еще один мысленный эксперимент. На вершине горы установим пушку и начнем из нее стрелять, посылая снаряды параллельно земной поверхности. Если заряд мал, снаряд летит медленно и падает, как нам кажется, на поверхность по параболе, фокус которой находится близко к вершине горы. На самом же деле траектория падения снаряда — эллипс, второй фокус которого в центре Земли. Различить параболу и эллипс на малом участке траектории очень трудно.

Если увеличить заряд и придать снаряду большую скорость, он полетит вокруг Земли по круговой орбите, наподобие Луны, став спутником нашей планеты. Если начальную скорость полета еще и еще увеличивать, траектория снаряда будет представлять собой последовательно сначала эллипс, с ближайшим фокусом в центре Земли, потом гигантскую параболу и наконец гиперболу. В последнем случае снаряд навсегда покинет Землю и уйдет в космическое пространство. Скорость «убегания» нетрудно рассчитать. И вы, конечно, сами понимаете, насколько такие расчеты важны в наше время.

Примечания

1. По современным данным разница между экваториальным и полярным радиусами Земли составляет чуть больше 21 километра.

2. Свои труды Декарт подписывал на латинский манер именем Картезий, потому и называли сторонников его учения — картезианцами.