Материалы по истории астрономии

На правах рекламы:

Подробности Cepparello тут.

21. Коперник, коперниканское учение и математика

Одно из самых ранних изображений Коперника — так называемая кауфманновская гравюра, оригиналом для которой, как полагают, послужил автопортрет ученого, имеет надпись: «Nikolaus Copernicus Turenaeus Borussus Mathematicus». Примерно такая же надпись обрамляет гравированный портрет Коперника работы И. ван Меурса, украшавший один из первых биографических очерков астронома, написанный французским ученым Пьером Гассенди в 1654 г. Николай Коперник и математика — не звучит ли это несколько непривычно? Мы знаем, что Коперник был великим астрономом, но был ли он и математиком?

Во времена Коперника и позже совокупность наук, охватывавшаяся этим собирательным названием, была значительно шире, чем в наше время, и, пожалуй, более соответствовала этимологии этого слова, ибо «математика» происходит от греческого μάθημα», первоначально означавшего «знание», «наука», «учение» вообще. Конкретно же еще в XVII в. к математике причисляли помимо, разумеется, традиционных арифметики с алгеброй и геометрии с тригонометрией механику с гидростатикой, архитектуру с фортификацией, географию с навигацией, оптику с перспективой и даже музыку. Астрономия же была, пожалуй, первой в этом списке. И в наше время трудно представить астронома, который не был бы математиком. Тогда же это было просто невозможно. Поэтому на поставленный вопрос можно ответить так: раз астроном, значит, и математик.

Каково было состояние собственно математических знаний во времена Коперника? После длительного застоя и упадка европейская математика только-только заканчивала усвоение античного (и арабоязычного) наследия и предпринимала весьма робкие попытки делать первые самостоятельные шаги. Специалистов-математиков тогда не готовили ни в одном университете Европы, но с математикой и астрономией знакомили — обычно на подготовительных факультетах — философском или факультете искусств. Но что это была за математика? Выше мы познакомились с планом ее изучения в Болонском университете — одном из ведущих в Италии и Европе. Три книги «Начал» Евклида, арифметика целых и дробных чисел — и, пожалуй, все (не считая математических сведений из трактата о сфере Сакробоско, «Альмагеста» Птолемея и астрологических трактатов). Конечно, такие профессора, как уже упоминавшиеся Лука Пачоли и Шипионе дель Ферро, давали, как мы теперь выражаемся, дополнительный материал, и в этом отношении Копернику «крупно повезло» — и в Краковском, и в Болонском университетах постановка преподавания точных наук была наилучшей в Европе, что, безусловно, позволило Копернику усвоить всю сумму математических знаний своего времени и облегчило в последующем решение поставленных им перед собой задач.

Однако математические познания Коперника были для него не просто средством исследований, рабочим инструментом, слепо заимствованным у предшественников, и этот тезис мы попытаемся обосновать. В 1542 г., за год до выхода «De Revolutionibus» в Виттенберге, городе-оплоте лютеранства, вышла небольшая книжка с достаточно пространным (в духе того времени) заглавием. Вот оно: «De lateribus et angulis triangulorum tum planorum rectilineorum, tum sphaericorum libellus eruditissimus et utilissimus cum ad plerasque Ptolemaei demonstrationes intelligendas, tum vero ad alia multa, scriptus a clarissimo et doctissimo viro D. Nicolao Copernico Toronensi. Additus est Canon semissium subtensarum rectarum linearum in Circulo, Excusum Vittembergae per Iohannem Lufft. Anno M.D. XLII», T. e. «О сторонах и углах треугольников как плоских прямолинейных, так и сферических. Ученейшая и полезнейшая книжечка как для понимания большей части доказательств Птолемея, так и для многого другого. Написана славнейшим и ученейшим мужем господином Николаем Коперником из Торуни. Добавлена таблица половин хорд окружности. Издано в Виттенберге Иоганном Люффтом в 1542 году». Из предисловия к книжке мы узнаем, что своим изданием она обязана Георгу Иоахиму Ретику, молодому профессору математики Виттенбергского университета, специально приехавшему в 1539 г. в Фромборк, чтобы подробно ознакомиться с работами Коперника. Ретик, еще зимой 1539/1540 г. опубликовавший «Первое повествование» о системе Коперника, сначала не мог убедить Коперника напечатать свою гениальную работу в полном виде и добился лишь согласия на публикацию чисто математической ее части, которая по первоначальному замыслу должна была составлять вторую книгу «Вращений», но в окончательном варианте вошла в виде трех глав — XII, XIII и XIV — в первую книгу. Какой же фактический материал заключался в этих главах? Самое общее представление об этом дает название книги и названия глав (правда, между материалом книжки и XII—XIV главами «Вращений» имеются некоторые отличия, о которых мы скажем ниже): «О прямых линиях, стягиваемых дугами» (XII), «О сторонах и углах плоских прямолинейных треугольников» (XIII) и «О сферических треугольниках» (XIV).

Прежде всего отметим, что содержание этих глав очень близко к содержанию 9—11 глав книги I «Альмагеста» Птолемея. Как и у него, изложение начинается выражением через диаметр сторон правильных, вписанных в окружность трех-, четырех-, пяти-, шести- и десятиугольников, причем для определения сторон двух последних многоугольников применяется деление в крайнем и среднем отношении.

В качестве следующего предложения, называемого им самим вводным, Коперник рассматривает знаменитую теорему Птолемея, которая в современной формулировке звучит так: «Во всяком выпуклом вписанном в окружность четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон». Для знакомства с характером и стилем доказательства математических предложений во времена Коперника воспроизведем здесь соответствующий текст.

«Если вписать в круг1 четырехугольник, то прямоугольник2 на диагоналях равен вместе взятым прямоугольникам, построенным на противолежащих сторонах.

Пусть abcd будет четырехугольник, вписанный в круг; я утверждаю, что произведение ac на bd диагоналей равно вместе взятым произведениям ab на cd и ad на bc. Сделаем угол abc равным углу cbd. Тогда весь угол abd будет равен всему ebc, ибо представляет их общую часть. Также равны друг другу углы acb и bda, как находящиеся в одном и том же сегменте круга. Следовательно, два подобных треугольника bcr, bda имеют стороны пропорциональными: как bc к bd, так будет и ec к ad, и произведение ec на bd равно произведению bc на ad. Также подобны и треугольники abe и cbd, поскольку углы abe и cbd сделаны равными, а углы bac и bdc равны, как стягивающие одну и ту же дугу окружности. Опять как ab к bd, так будет и ae к cd, и произведение ab на cd равно произведению ae и bd. Но уже сказано, что ad, помноженное на bc, составляет столько же, сколько и bd на ec. Следовательно, после сложения произведение bd на ac будет равно вместе взятым произведениям ad на bc и ab на cd; это и надо было доказать».

Здесь еще Коперник почти дословно следует за Птолемеем. Далее он доказывает, что по данным хордам, стягивающим неравные дуги в полуокружности, можно определить и хорду, соответствующую дуге — разности данных дуг; по хорде, стягивающей данную дугу, может быть определена и хорда, стягивающая ее половину, а если известны хорды, стягивающие две дуги, то может быть найдена и хорда, стягивающая дугу, равную сумме данных дуг; кроме того, устанавливается, что отношение большей дуги к меньшей будет больше отношения соответствующих хорд. Все это необходимо Копернику для построения таблицы синусов, или, по его выражению, «половин хорд удвоенных дуг». Но перед таблицей он рассматривает еще одну задачу, связанную с определением хорд (и синусов) достаточно малых дуг (в 1 градус, пол- и треть градуса). Эта задача начинается любопытным утверждением, которого нет у Птолемея: «Хотя дуга всегда будет больше стягивающей ее прямой, ибо прямая является кратчайшей из всех линий, имеющих одинаковые концы, однако это неравенство при переходе от больших отрезков круга к меньшим стремится к равенству, так что в самом последнем касании с кругом прямая и ее объемлющая одновременно исчезают; следовательно, необходимо, чтобы перед этим они отличались друг от друга на незаметную разность».

Легко видеть, что здесь Коперник по существу говорит о замечательном пределе limx→0 sin x/x = 1, точнее, о пределе, ему эквивалентном.

В самом деле, если положить, что в окружности единичного радиуса дуга AB = x (в радианной мере), ∠AOB = x, то AB = 2sin x/2 и из утверждения Коперника, что при x→0 x→2sin x/2, следует, что limx→0(2 sin x/2)/2 = 1, откуда уже совсем элементарно получается упомянутый выше предел. Конечно, к своему утверждению Коперник приходит на чисто интуитивной основе, не предпринимая попыток его формального доказательства.

Далее в «De Revolutionibus» приводится, как уже упоминалось, таблица синусов — «канон половин хорд удвоенных дуг». Вот для общего представления небольшая ее часть:

Дуги, град. мин. Половины хорд удвоенных дуг Разности
30 0 50 000 252 252
30 10 50 252 251 251
30 20 50 503 1 251
30 30 50 754 0 250
30 40 51 004 0 250
30 50 51 254 250 250
31 00 51 504 249 249
. . . . . . . . . . . .
32 0 52 992 6246 и т.п.

В какой мере при составлении этих таблиц Коперник был независим от Птолемея и других своих предшественников? Во-первых, у Птолемея таблицы синусов как таковые вообще отсутствовали — им были составлены таблицы хорд. Во-вторых, таблицы хорд у Птолемея имели шаг в полградуса, а если их пересчитать для синусов, то в четверть градуса, т. е. 15 минут, и притом в шестидесятиричных вавилонских дробях. Коперник же пользуется десятичной системой счисления, принимает диаметр равным 200 000 частей, радиус у него, следовательно, равен 100 000. А шаг таблиц у него — 10 минут. Наконец, вместо птолемеевых хорд он рассматривает полухорды удвоенных дуг, которые, будучи выражены в частях радиуса, представляют собой синусы; впрочем, этот термин ни Коперник, ни его ученик и преемник по части составления таблиц Ретик не употребляют. Все это позволяет с большой вероятностью утверждать, что в составлении этих таблиц Коперник был независим от Птолемея. Но дело не только в этом. В приложении к книжке «О сторонах и углах треугольников» также приведены таблицы синусов, но какие! Радиус здесь увеличен против прежних в 100 раз и принимается равным 10 000 000, а шаг доведен до 1 минуты, т. е. уменьшен в 10 раз. Притом, по всеобщему признанию историков математики, это первые таблицы, приспособленные непосредственно и для вычисления косинусов. Тут уже говорить о простом заимствовании табличных значений у Птолемея просто нет никакого смысла.


Страница из книги «De lateribus». Таблицы полухорд (синусов и косинусов) с шагом в 1′ и семью значащими цифрами (на таблице — углы от 30°01′ до 35°)

И все же нельзя обойти два возражения. Первое из них состоит в том, что подобные таблицы были составлены Региомонтаном еще во второй половине XVI в. (для радиуса 6 000 000 и шага в 1 минуту). Однако эти таблицы были изданы почти одновременно с книжкой Коперника (в 1541 г.) учителем Ретика Шонером в типографии того же Петрея в Нюрнберге, который через два года издаст «De Revolutionibus». Они отличались от коперниковых таблиц по построению и по допущенным ошибкам, не были приспособлены к вычислению косинусов и, наконец, не могли быть известны Копернику. Второе возражение заключается в следующем. Следом за А. Браунмюлем и М. Кантором3 многие историки математики высказывают предположение, что эти таблицы были составлены не Коперником, а Ретиком, причем Браунмюль мотивирует это именно отсутствием в приведенных в «De Revolutionibus» таблицах синусов дополнительных углов, предназначенных для вычисления косинусов. Но обратимся к фактам.

Составление семизначных таблиц тригонометрических функций в те времена, когда отсутствовали вспомогательные технические вычислительные средства, было делом чрезвычайно длительным и трудоемким. Ни в годы учебы, ни в начале своей преподавательской деятельности, ни во время пребывания в Вармии у Коперника Ретик не мог сосредоточиться на составлении таких таблиц. Его время и интересы были заняты другим, и это легко прослеживается. Ретик возвращается в Виттенберг в конце 1541 г., с головой уходит в преподавательскую деятельность, исполняет обязанности декана, озабочен проблемами, связанными с изданием «De Revolutionibus», а в мае 1542 г. книжка Коперника с приложением этих обширных таблиц и с предисловием Ретика, в котором тот в самых восторженных выражениях характеризует своего наставника, выходит из печати. Таким образом, и после возвращения из Фромборка Ретик не мог составить эти таблицы.

О том, что интерес Ретика к тригонометрии возникает под прямым влиянием Коперника и в связи с изданием книжки «О сторонах и углах треугольников...», свидетельствует и автор недавно вышедшего трехтомного монографического исследования о Ретике К.Г. Бурмейстер4.

Значит, вывод один: таблицы составлены самим Коперником; после 1530 г. он располагал временем, необходимым для их составления, и был непосредственно заинтересован в них. Об этом свидетельствует и таблица синусов, помещенная в «De Revolutionibus», значительно уменьшенная по объему, но соответствующая точности вычислений, принятой в этом произведении, и сохранившаяся в рукописи таблица секансов, составленная Коперником впервые в мире. Если бы Ретик имел к составлению этих таблиц отношение, он не преминул бы отметить это в предисловии, тем более что двухлетнее отсутствие в Виттенбергском университете и открытая поддержка осуждавшихся лютеранскими лидерами взглядов Коперника уже сказывались и реноме искусного вычислителя могло бы несколько поправить его дела.

Реноме искусного вычислителя, значение работ которого сохранялось вплоть до XX в., Ретик приобрел. Если в астрономии он остался только популяризатором идей Коперника, активным борцом за их распространение, не сумев дать ничего нового для развития теории своего учителя, то в развитии тригонометрии и составлении математических таблиц он стал достойным его продолжателем. В 1551 г. Ретик издает работу, явившуюся результатом почти десятилетнего его труда (при участии нескольких помощников) — семизначные таблицы шести тригонометрических функций с шагом в 1 минуту, в том числе и впервые опубликованные, составленные, несомненно, под влиянием Коперника таблицы секансов, позволявшие в соответствующих случаях заменять деление на синус или косинус умножением. Так через Ретика коперникова функция секанса была введена в научный и практический оборот. (Между прочим, французские геометры Деламбр и Шаль изобретение секанса приписывали итальянцу Мавролику, очень быстро отреагировавшему на появление таблиц Ретика.) По свидетельству И. Тропфке, эти таблицы Ретика были первыми тригонометрическими таблицами, имевшими вполне современный вид5.

Остаток жизни Ретик потратил на составление еще более обширных и подробных таблиц тригонометрических функций — десятизначных с шагом в 10 секунд. Хотя колоссальная вычислительная работа была закончена в основном еще при жизни Ретика, эти таблицы впервые были изданы его учеником Валентином Ото (Otho) только в 1596 г. вместе с довольно обстоятельным и оригинальным руководством по тригонометрии и известны под названием «Opus Palatinum de Triangulis». Впоследствии они неоднократно переиздавались. Последнее издание части таблиц относится к 1897 г.6, а в 1923 г. Г. Бранденбург издает на их базе тригонометрические таблицы для вычислений с помощью счетных машин настольного типа. Но и это не все. Ретиком были составлены также пятнадцатизначные таблицы тригонометрических функций с шагом в 10 секунд и даже в 1 секунду. Этим он намного опередил потребности своего времени, и таблицы на базе его работ были изданы только совсем недавно7.

Но возвратимся к математическим разделам «De Revolutionibus». В главе «О сторонах и углах плоских прямолинейных треугольников» рассматриваются различные случаи решения треугольников, в общем хорошо известные и до Коперника. Современного читателя может несколько озадачить формулировка первого предложения этой главы: «В [плоском прямолинейном] треугольнике с данными углами даются (т. е. могут быть найдены. — Авт.) и стороны». Оказывается, при этом предполагается, что, поскольку, «согласно пятой проблеме четвертой книги Евклида», около всякого треугольника может быть описана окружность, радиус ее может быть определен, после чего по таблицам синусов могут быть выражены в частях радиуса и стороны. Заметим, что самый легкий случай решения треугольников (по двум заданным углам и стороне) Коперником вообще не рассматривается.

Наибольший интерес представляет следующая глава, посвященная сферической тригонометрии. Именно содержание этой главы позволяет прийти к выводу, что, хотя основные профессиональные интересы Коперника и лежали в стороне от традиционных — в нашем понимании — областей математики, он и здесь проявил глубокую эрудицию, самостоятельность, оригинальность и зрелость мышления и сделал заметный вклад в основной фонд математики.

Прежде всего отметим, что данный им вывод теорем сферической тригонометрии оригинален и основан на принадлежащей ему чрезвычайно удачной идее рассмотрения трехгранной пирамиды со сферическим основанием и вершиной в центре сферы.

Важное значение здесь имеет так называемая теорема синусов для сферических треугольников, которая в формулировке Коперника выглядит так: «В сферических треугольниках, имеющих прямой угол, хорда, стягивающая удвоенную дугу, лежащую против прямого угла, к хорде, стягивающей удвоенную сторону, одну из прилежащих к прямому углу, относится как диаметр сферы к хорде, стягивающей на Великом круге сферы угол, вдвое больший угла, заключенного между последней и первой сторонами сферического треугольника»8.

Эта формулировка близка к птолемеевой, но доказательство значительно изящнее и (в несколько модернизированном изложении) состоит в следующем.

Пусть треугольник abc при вершине c прямоуголен. Дополним дуги ac и ab до 90° каждую и построим трехгранные углы abif и aedf, вершины которых совпадают с центром сферы. Если теперь опустить перпендикуляры bg, dk на af, fc, ef соответственно и провести gi, то плоскости def и bfc будут перпендикулярны к плоскости aef; поэтому dkbi и ∠fdk = ∠gib, т. е. △fkd ∾ △gib.

Отсюда следует, что dk: bg = dk: bi, или, так как bi = sin ab, dk = sin a, df = r, sin a/sin bc = r/sin ab, что и требовалось доказать.

Это доказательство отличается не только от доказательств древних, но и от приводимых в более позднем источнике доказательств Джабира ибн Афлаха, а также Региомонтана, оно значительно проще и тоньше их.

Теорема синусов тут же используется Коперником для доказательства ряда других теорем сферической тригонометрии, список которых заканчивается важнейшими теоремами о решении сферического треугольника по всем сторонам (теорема XIII: «Наконец, если в сферическом треугольнике даны все стороны, то будут данными и углы»9) и по углам стороны (теорема XV: «Если в треугольнике даны все углы, хотя бы никакой из них не был прямым, то даны и все стороны»)10.

Возникает вопрос, когда Коперник занялся вопросами сферической тригонометрии — до прибытия Ретика, который привез ему в подарок известное сочинение Региомонтана о треугольниках, или уже после того, как он смог ознакомиться с этим сочинением?

В пользу второго предположения говорит уже упоминавшееся место из предисловия Валентина Ото к сочинению Ретика «Opus Palatinum» о том, что Коперник изложил теорию первого движения Земли (т. е. ее суточного вращения) непосредственно по настоянию Ретика, а необходимость в сферической тригонометрии появилась именно при этом изложении.

С другой стороны, сам Ретик в предисловии к книжке Коперника «О сторонах и углах треугольников» говорит: «Недавно были изданы сочинения Региомонтана, но славнейший и ученейший муж господин Николай Коперник еще задолго до того, как мог увидеть эту книгу, во время своей работы над объяснением Птолемея и подготовкой учения о небесных движениях написал в высшей степени ученейшее сочинение о треугольниках»11.

Исследование сохранившегося манускрипта книги «Вращения» позволяет сделать вывод, что первоначально написанный текст подвергался переработке, а теоремы XIII, XIV и XV написаны на бумаге другого сорта и более позднего происхождения. По крайней мере, эти теоремы — результат более поздней работы Коперника, проведенной, весьма возможно, после ознакомления с произведением Региомонтана, но и их доказательства отличаются от Региомонтановых простотой и изяществом и, несомненно, оригинальны. Поэтому не прав был Шонер, подозревавший Коперника после выхода его книги о треугольниках едва ли не в плагиате.

Выдающиеся математические дарования Коперника проявляются и во многих других местах его книги «О вращениях». В IV главе третьей книги, называющейся «О том, каким образом колебательное или либрационное движение составляется из круговых», Коперник рассматривает имеющую математический интерес задачу представления прямолинейного колебательного движения из сложения двух вращательных. Не менее интересна и задача предыдущей главы, которую в настоящее время можно было бы назвать проблемой сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, у одного из которых период вдвое больший, чем у другого. Коперник рассматривает эту задачу в связи с изучением прецессии и получает восьмеркообразную кривую, представляющую собой, по современной терминологии, алгебраическую кривую четвертого порядка, одну из так называемых фигур Лиссажу.

В VII главе шестой книги при определении угла наклона орбит Венеры и Меркурия рассуждения Коперника о применении средней арифметической для анализа результатов серии измерений в некоторой мере близки возникшей значительно позже теории погрешностей.

Однако роль Коперника в развитии математики не ограничивается его личным вкладом. Коперниканское учение оказало мощное стимулирующее воздействие на развитие математики в трудах его последователей.

Уже Кеплер, отказавшись от аксиомы равномерного движения планет, в ходе своих исследований предположил, исходя из физических соображений, что планеты, обращаясь вокруг Солнца, находящегося в эксцентре, движутся быстрее вблизи него и медленнее — в удалении. Предстояло выразить математически зависимость между расстояниями планеты от Солнца и временем, в течение которого проходится тот или иной участок пути. К тому времени алгебра, геометрия и тригонометрия, составлявшие математику постоянных величин, накопили определенное количество сведений, чтобы представлять собой определенную систему знаний, хотя многое еще было неясно, многое не завершено.

Однако при решении данной задачи Кеплеру пришлось встретиться со случаем, который, вообще говоря, методами математики постоянных величин решен быть не мог. Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга. Если эту задачу перевести на современный математический язык, придем к эллиптическому интегралу. Дать решение задачи в квадратурах Кеплер, естественно, не мог, но он не отступает перед возникшими трудностями и решает задачу путем суммирования бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Этот инфинитезимально-атомистический подход к решению важной и сложной практической задачи представлял собой в новое время первый шаг в предыстории математического анализа (самый первый был сделан еще в античные времена Архимедом). То, что в нашем понимании представляет определенный интеграл, Кеплер трактует как площадь, ограниченную криволинейной трапецией (кривой в данном случае является конхоида). И это было принципиально новым шагом в математике переменных величин. Примененные им здесь методы вычисления площади по существу совпадают с современными методами приближенного интегрирования.

Решение данной задачи для случая эксцентрической окружности привело Кеплера уже в самом начале XVII в., в 1602 г.; к открытию второго закона движения планет, так называемого закона площадей. Разработка и применение для выводов этого важного закона новой астрономии принципиально новых математических методов ознаменовали собой начало нового в развитии математики периода переменных величин. Это один из наиболее ярких примеров того, как потребности развивающегося естествознания, требования практики вызывают к жизни появление новых математических методов изучения природы — развитие новой астрономии влекло за собой развитие математики, а применение новых математических методов ускоряло развитие астрономии.

В скором времени Кеплер открывает второй закон движения планет — закон эллипсов. И для этого случая решенная Кеплером задача сохраняет свой смысл.

Оба закона Кеплера стали достоянием науки с 1609 г., когда была опубликована его знаменитая «Новая астрономия» — изложение основ новой небесной механики. В книге содержится и несколько других случаев применения интеграционных методов, представляющих большой интерес. Однако выход этого замечательного произведения не сразу привлек к себе должное внимание: даже великий Галилей, по-видимому, до конца дней своих так и не воспринял законов Кеплера. И продолжение разработки предложенных им методов новой математики могло бы задержаться, если бы он сам не предпринял важных мер для их развития и популяризации: в 1615 г. он выпустил сравнительно небольшую по объему, но весьма емкую по содержанию книгу — «Новая стереометрия винных бочек», в которой продолжил разработку своих интеграционных методов и применил их для нахождения объемов более чем 90 тел вращения, подчас довольно сложных. Там же им были рассмотрены и экстремальные задачи, что подводило уже к другому разделу математики бесконечно малых — дифференциальному исчислению.

Эта работа Кеплера не осталась незамеченной — уже через год после ее выхода А. Андерсон, а позже П. Гульдин выступили против предложенных Кеплером методов суммирования бесконечно малых величин, не поняв, что при всей их нестрогости, очевидной и для самого Кеплера, они были чрезвычайно продуктивны и заключали в себе важные для дальнейшего развития математики идеи. С другой стороны, уже тогда ученик Галилея Б. Кавальери дал работам Кеплера высокую оценку и сам многое сделал для развития заложенных в них идей. Вскоре приемы и результаты Кеплера, а затем и Кавальери привлекли к себе внимание многих крупных математиков XVIII в., вызвав целый поток исследований в новой области математики, завершившихся в последней четверти столетия оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчислений.

Потребности коперниканской астрономии стимулировали и развитие вычислительных средств математики, область, где многое было сделано самим Коперником и его учеником Ретиком. И в данном случае этот процесс удобнее всего проиллюстрировать на примере деятельности Кеплера. Именно необходимость совершенствования средств астрономических вычислений, составление таблиц движений планет на основе системы Коперника привлекли Кеплера к вопросам теории и практики логарифмов. Известно, что, воодушевленный работами Непера, Кеплер самостоятельно построил теорию логарифмов на чисто арифметической базе и с ее помощью составил близкие к неперовым, но более точные логарифмические таблицы, впервые изданные в 1624 г. и переиздававшиеся до 1700 г. Кеплер же первым применил логарифмические вычисления в астрономии, и опубликованные в 1627 г. «Рудольфинские таблицы» планетных движений он смог завершить только благодаря новому средству вычислений.

Потребности коперниканской астрономии в определенной степени стимулировали и развитие средств механизированных вычислений: друг Кеплера Вильгельм Шикард уже около 1623 г. построил первую в мире вычислительную машину, предназначенную для выполнения четырех арифметических действий. Две другие известные нам конструкции вычислительных машин XVII в. принадлежат крупнейшим представителям новой математики Паскалю (1642) и Лейбницу (1674). Впрочем, уровень развития техники в то время еще не позволял наладить серийного производства достаточно надежных вычислительных устройств.

Проявленный Кеплером интерес к кривым второго порядка и к проблемам астрономической оптики — а все это в конечном счете также вызывалось потребностями в развитии коперниканской астрономии — привел его к разработке общего принципа непрерывности — своеобразного эвристического приема, который позволяет находить свойства одного объекта по свойствам другого, если первый получается предельным переходом из второго. В книге «Дополнения к Вителлию, или оптическая часть астрономии» (1604) Кеплер, изучая конические сечения, интерпретирует параболу как гиперболу или эллипс с бесконечно удаленным фокусом — это первый в истории математики случай применения общего принципа непрерывности. Введением понятия бесконечно удаленной точки Кеплер предпринял важный шаг на пути к созданию еще одного раздела математики — проективной геометрии, дальнейшие шаги в развитии которой были сделаны три с лишним десятилетия спустя Ж. Дезаргом и Б. Паскалем.

Не случайно в этом разделе так много раз названо имя Кеплера. Именно в деятельности этого ученого связь между проблемами развития учения Коперника и развитием математических методов исследования природы проявляется особенно ярко и наглядно. Именно работы Кеплера подняли астрономическую теорию Коперника на принципиально более высокий уровень, именно Кеплер первым среди ученых Нового времени так много сделал для формирования нового этапа в развитии математики. Высоко поднятое Кеплером знамя новой науки было подхвачено последующими поколениями ученых, и, хотя сочинения Кеплера, пропагандировавшие учение Коперника, попали в папский «Список запрещенных книг», торжествующее шествие коперниканского учения, вылившееся в естественнонаучную революцию, уже никогда больше не приостанавливалось!

Примечания

1. Лат. circulus обозначало и «круг» и «окружность», мы сохраняем здесь термин «круг».

2. Речь идет о геометрической интерпретации произведения.

3. См. A. Braunmühl. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie, Bd. I. Lpz., S. 141; M. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. II. Lpz., 1913, S. 274.

4. См. K.H. Burmeister. Georg Ioachim Rheticus. Bd. I. Wiesbaden, 1967, S. 51.

5. См. J. Tropfke. Geschichte der Elementar-Mathematik. 2. Aufl. B.—Lpz., 1921, 5. Bd., S. 181.

6. H. Jordan. Opus Palatinum. Sinus- und Cosinus Tafeln von 10″ zu 1″. Hannover, 1897.

7. E. Gifford. Natural sines to every second of arc... computed... from Rheticus. Manchester, 1914; Он же. Natural tangents to every second of arc... computed... from Rheticus. Manchester, 1920 и 1927.

8. Николай Коперник. О вращениях..., стр. 61.

9. Там же, стр. 68.

10. Там же, стр. 70.

11. Николай Коперник. О вращениях..., стр. 563.

Предыдущая страница К оглавлению Следующая страница
«Кабинетъ» — История астрономии. Все права на тексты книг принадлежат их авторам!
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку