XV. Идея бесконечности

Поскольку фраза «Eppur si muove» не была произнесена, ей можно придавать самый различный смысл. Здесь нет сдерживающего соображения о смысле, который придавал фразе тот, кто ее произнес. Если сама фраза недостоверна, нужно, чтобы вкладываемый в нее смысл был исторически достоверным, т. е. действительно характеризовал идеи Галилея, высказанные после процесса 1633 г., и связь этих идей с осужденным «Диалогом».

Чтобы увидеть основную связь «Бесед» и «Диалога», чтобы увидеть в «Беседах» более общее и последовательное выражение идей, высказанных в «Диалоге», следует остановиться на проблеме бесконечности в двух основных книгах Галилея. Мы увидим тогда, что «Диалог» содержал в себе — implicite — мысль о бесконечном множестве точек, в которых определено движение частицы, и эту же мысль содержат уже в более явной форме «Беседы».

Не только в более явной форме. Наиболее существенным служит изменение самого понятия бесконечности. В «Беседах» это понятие стало логически замкнутым. Такое понятие бесконечности содержалось в учении Галилея о равномерно-ускоренном движении. Мы подойдем к нему, начав издалека — с концепции бесконечности в физике Аристотеля. Речь об этом уже шла, но теперь нам понадобится несколько более подробное изложение вопроса.

Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность пространства. Но время — бесконечно. С указанным различием связаны понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемого бесконечного по размерам тела (актуально бесконечного тела), но допускает существование потенциальной бесконечности. Ее нельзя понимать в том смысле, в каком, например, статуя потенциально содержится в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов превращается в актуальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго.

«Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным»¹.

Актуальная бесконечность — это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это — чисто пространственное, одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происходящий в бесконечном времени и состоящий в бесконечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эквивалентом обладает понятие потенциальной бесконечности, протекающей во времени. Нет бесконечного «теперь», но есть бесконечная последовательность конечных «теперь».

Итак, аристотелева концепция потенциальной бесконечности и отрицание актуальной бесконечности связаны с высказанным в «Физике» и других трудах Аристотеля представлением о пространстве и времени и их связи. Актуальная бесконечность — это некоторая обладающая реальным физическим бытием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение «данный момент» понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря, пространственное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное пространство, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно постигаемого тела. Отрицание актуальной бесконечности связано с физической идеей — отрицанием бесконечности мира в пространстве и бесконечности самого пространства. Напротив, потенциальная бесконечность развертывается во времени. Каждое конечное значение возрастающей величины связано с некоторым «теперь», и это значение, оставаясь конечным, меняется по мере того, как меняется «теперь».

Как уже говорилось, у Аристотеля не было и физических эквивалентов бесконечности как результата деления целого на части. Движение тела непрерывно, но физика Аристотеля не рассматривает его от точки к точке и от мгновения к мгновению. Для Аристотеля в точке и в мгновение ничего не происходит и ничего не может произойти. У него нет ни мгновенной скорости ни мгновенного ускорения. Движение определяется не этими инфинитезимальными понятиями, а схемой естественных мест и однородных сферических поверхностей.

Для Галилея двигаться — значит двигаться от точки к точке и от мгновения к мгновению. Поэтому «Eppur si muove» имеет, помимо прочего, инфинитезимальный смысл: Земля движется, все тела Вселенной движутся из одной точки в другую, и их движение определяется законом движения, связывающим между собой мгновенные состояния движущегося тела.

Именно это инфинитезимальное «Eppur si muove» раскрывается в наиболее полной и логически замкнутой форме в «Беседах» — в учении о равномерно ускоренном движении.

После этих предварительных замечаний можно перейти к более систематическому изложению представлений о бесконечности у Галилея. Мы начнем с бесконечно большого как результата сложения конечных величин, с бесконечно большой вселенной. В «Беседах» о ней не говорится, и здесь придется вернуться к «Диалогу». Затем мы остановимся на понятии бесконечности как результата деления целого на части, но уже не в теории вещества, как это было в предшествующей главе, а в теории движения. При этом в центре внимания будет стоять проблема позитивного определения бесконечности и его связь с концепцией равномерно ускоренного движения. В заключение — несколько слов о той неаристотелевой логике, которая оказалась необходимой для перехода к инфинитезимальной картине движения.

Идея бесконечно большой вселенной никогда не высказывалась Галилеем в определенной однозначной форме. Так же как идея конечного звездного острова в бесконечном пустом пространстве. Так же как идея конечного пространства.

Вспомним «Послание к Инголи», в котором Галилей объявляет неразрешимым вопрос о конечности или бесконечности мира².

В «Диалоге» Галилей иногда упоминает о центре конечной звездной сферы. Но всегда с оговорками. В беседе первого дня, после замечаний о гармонии круговых движений, Сальвиати говорит: «Если можно приписывать вселенной какой-нибудь центр, то мы найдем, что в нем помещается скорее Солнце, как мы убедимся из дальнейшего хода рассуждений»³.

Но Галилея интересуют не границы вселенной — понятие, непредставимое и чуждое всему строю и стилю «Диалога», а центр вселенной. Если такой центр существует, в нем находится Солнце.

Конечно, понятие центра теряет смысл без понятия ограниченной звездной сферы. Поэтому Галилей часто приближается к такому понятию. Когда Симпличио вынужден сам рисовать на бумаге гелиоцентрическую схему, Сальвиати в заключение спрашивает: «Что же мы теперь сделаем с неподвижными звездами?». Симпличио помещает их в сфере, ограниченной двумя сферическими поверхностями, с центром — Солнцем. «Между ними я поместил бы все бесчисленное множество звезд, но все же на разной высоте, это могло бы называться сферой вселенной, заключающей внутри себя орбиты планет, уже обозначенные нами»⁴.

В дальнейшем обсуждается вопрос о размерах вселенной. Перипатетики находили, что система Коперника обязывает приписывать вселенной слишком большие масштабы. В ответ Сальвиати говорит об относительности масштабов:

«Теперь, если бы вся звездная сфера была одним сияющим телом, то кто не поймет, что в бесконечном пространстве можно найти такое большое расстояние, с которого вся светящаяся сфера покажется совсем маленькой, даже меньше того, чем нам кажется сейчас с Земли неподвижная звезда?»⁵

Но и эта схема конечного звездного острова в бесконочном пространстве представляет собой условное допущение.

В беседе третьего дня Сальвиати требует от Симпличио ответа: что он подразумевает под центром, вокруг которого обращаются другие небесные тела?

«Под центром я понимаю центр вселенной, центр мира, центр звездной сферы, центр неба», — отвечает Симпличио⁶.

Сальвиати сомневается в существовании такого центра и спрашивает Симпличио, что находится в центре мира, если таковой центр существует.

«Хотя я и мог бы на вполне разумных основаниях поднять спор о том, существует ли в природе такой центр, так как ни вы, ни кто-либо другой не доказали, что мир конечен и имеет определенную форму, а не бесконечен и неограничен, я уступаю вам пока, допуская, что он конечен и ограничен сферической поверхностью, а потому должен иметь свой центр, но все же следует посмотреть, насколько вероятно, что Земля, а не другое тело, находится в этом центре»⁷.

Существование центра вселенной — фундаментальное утверждение Аристотеля. Если бы наблюдения заставили отказаться от геоцентрической системы, Аристотель сохранил бы центр мира, но поместил бы в нем Солнце.

«Итак, начнем опять наше рассуждение сначала и примем ради Аристотеля, что мир (о величине которого, кроме неподвижных звезд, у нас нет никаких доступных чувству показаний) есть нечто такое, что имеет сферическую форму и движется кругообразно и по необходимости имеет, принимая во внимания форму и движение, центр, а так как, кроме того, мы достоверно знаем, что внутри звездной сферы существует много орбит, одна внутри другой, с соответствующими звездами, которые также движутся кругообразно, то спрашивается, чему более разумно верить и что более разумно утверждать, то ли, что эти внутренние орбиты движутся вокруг одного и того же мирового центра или же что они движутся вокруг другого, очень далекого от первого?»⁸

Почему Галилей, приближаясь к границам вселенной, теряет обычную энергию и определенность аргументов, почему язык его становится бледным и в изложении начинает проглядывать несвойственное Галилею равнодушие к предмету спора?

Галилей не хочет уходить в области, где бесконечно малыми становятся не только Земля, но и звездное небо, которое он увидел в 1610 г., — мир Медицейских звезд, фаз Венеры, холмистого пейзажа Луны и т. д. Галилей не хочет уходить в область, где требуются уже не наглядно-качественные предпосылки математического метода, а сама математика бед «утренней» наглядно-представимой формы. В сущности, такого ухода и не требовала не только наука XVII в., но и вся классическая наука. Локальные критерии позволяли говорить об относительном движении (без появления сил инерции) и об абсолютном движении, не ссылаясь на абсолютную систему центра и границ вселенной. Весь интерес заключался в изучении того, что происходит в бесконечно малых областях пространства. В 1866 г. Риман говорил: «Для объяснения природы вопросы о бесконечно большом — вопросы праздные. Иначе обстоит дело с вопросами о неизмеримо малом. От той точности, с которой нам удается проследить явления в бесконечном малом, существенно зависит наше знание причинных связей. Успехи в познании механизма внешнего мира, достигнутые на протяжении последних столетий, обусловлены почти исключительно благодаря точности того построения, которое стало возможно в результате открытия анализа бесконечно малых и применения основных простых понятий, которые были введены Архимедом, Галилеем и Ньютоном и которыми пользуется современная физика»⁹.

Не только по отношению к Галилею, но и по отношению ко всей науке до развития общей теории относительности (может быть, до некоторых космологических работ конца XIX в.) замечание Римана было справедливым. Конечные расстояния, разделенные на бесконечное множество частей, — вот что интересовало и Галилея и всю классическую науку.

Как в этой проблеме модифицируются понятия актуальной и потенциальной бесконечности?

Они оказываются связанными с понятиями естественнонаучного закона и описывающей его функции.

Представление о естественнонаучном законе, однозначно связывающем элементы одного множества с элементами другого множества, развивалось параллельно с математическими идеями функции и ее производной. После того как появилось представление о пределе и о бесконечно малой как переменной величине, актуальная бесконечность, казалось, должна была исчезнуть из математики. Согласно взглядам Коши, бесконечно малая остается конечной в каждый момент (здесь момент, вообще говоря, уже не означает момента времени) и, проходя последовательно через все меньшие численные значения, становится и остается по абсолютной величине меньше любого заранее заданного числа, иными словами, она стремится к пределу, равному нулю. Подобное представление о бесконечно малой в не столь явной форме существовало уже в XVII—XVIII вв. Идее переменной величины, проходящей неограниченный ряд все меньших численных значений, отвечает понятие потенциальной бесконечности, поэтому развитие анализа бесконечно малых от Ньютона и Лейбница до Коши казалось направленным против актуальной бесконечности. И действительно, большинство математиков этого периода считали понятие актуальной бесконечности неправомерным.

Однако актуальная бесконечность, по существу, сохранилась в той концепции анализа, которая появилась в неявной форме в XVII в. и достигла высшей точки развития в работах Коши. Понятие функции предполагает существование актуально-бесконечного множества. Одна величина находится в функциональной зависимости от другой величины, т. е. существуют два множества, в которых каждому элементу одного множества соответствует некоторый элемент другого множества. Эти множества могут быть бесконечными. Мы не пытаемся задать эти множества, последовательно увеличивая число известных нам элементов. Здесь понятие бесконечности возникает иным путем — не счетным, а логическим. Соответствие между двумя множествами, возможность сопоставить элементу одного множества элемент другого множества гарантируются некоторым законом, с помощью которого мы находим значение функции, т. е. элемент, соответствующий данному элементу рассматриваемого множества значений независимой переменной. Бесконечному ряду этих значений может соответствовать бесконечный ряд элементов второго множества. Бесконечность означает в данном случае неограниченную возможность прибавления к конечному числу констатаций соответствия все новых и новых констатаций. Таким образом, перед нами потенциальная бесконечность. Но мы можем определить бесконечность области, на которой опреде-лена функция, вовсе не таким путем. Мы берем не значения независимой переменной и функции, а вид функции, который как бы заранее определяет все соответствия между множествами в пределах области, где элементам одного множества но определенному закону соответствуют элементы другого множества.

Естественнонаучный закон — прообраз актуальной бесконечности, определенной не пересчитыванием (невозможным!) элементов бесконечного множества. Новое понятие актуальной бесконечности было введено в математику Георгом Кантором. Канторовская бесконечность — актуальная бесконечность, не являющаяся исчисленным неисчислимым множеством. Исходная идея Кантора — это задание множества по содержанию. Множество может быть задано перечислением всех входящих в него элементов. Бесконечное множество не может быть задано таким способом. Но множество можно задать иначе, указав некоторые признаки, которыми должны обладать все элементы множества. Подобным образом, по содержанию, может быть задано и бесконечное множество.

Кантор сопоставляет два бесконечных множества. Если каждому элементу одного множества можно взаимно однозначным образом сопоставить элемент другого множества, то множества называются равномощными. Мощность заменяет собой число элементов в старом, необобщенном смысле, неприменимом к бесконечности.

В основе всей этой эволюции лежали математические эквиваленты понятия закона, связывающего один бесконечный ряд величин с другим бесконечным рядом величин, одно непрерывное многообразие с другим непрерывным многообразием. Прообразом подобных законов был закон падения тел, высказанный Галилеем в наиболее полной форме на страницах «Бесед».

Понятия равномерного и равномерно-ускоренного движения были довольно подробно разработаны номиналистами XIV в. Орем и другие говорили о равномерном движении и называли его «униформным». Номиналисты говорили и о неравномерном («диформном») движении и, наконец, об униформно-диформном, т. е. равномерно ускоренном движении.

Отношение идеи Галилея к идеям номиналистов XIV в. примерно таково же, как отношение «Гамлета» к легенде о датском принце, существовавшей задолго до Шекспира. Последний вложил в рамку старой фабулы этическую программу (и этические противоречия) новой эпохи. Галилей вложил в одно из понятий схоластики XIV в. основную программу (и основные противоречия) новой концепции природы. Он заявил, что основа реальных движений — свободное падение тел — это и есть униформно-диформное движение номиналистов XIV в.

В этой характеристике: «униформно-диформное», «равномерно ускоренное» акцент — на первом слове. Это легко показать.

Галилей пришел к количественному закону падения тел в Падуе. 16 октября 1604 г. он писал Паоло Сарпи:

«Рассуждая о проблемах движения, я искал абсолютно бесспорный принцип, который мог бы служить исходной аксиомой при анализе рассматриваемых случаев. Я пришел к предложению достаточно естественному и очевидному, из которого можно получить все остальное, а именно: пространство, проходимое при естественном движении, пропорционально квадрату времени и, следовательно, пространства, проходимые в последовательные равные интервалы времени, будут относиться как последовательные нечетные числа. Принцип же состоит в следующем: тело, испытывающее естественное движение, увеличивает свою скорость в той же пропорции, что и расстояние от исходного пункта. Если, например, тяжелое тело падает из точки a по линии abcd, я предполагаю, что градус скорости в точке c так относится к градусу скорости в точке b, как расстояние ca к расстоянию ba. Подобным же образом, далее, в d тело приобретает градус скорости, настолько больший, чем в с, насколько расстояние da больше, чем расстояние ca»¹⁰.

Впоследствии Галилей связал скорость не с пройденным расстоянием, а с временем. Но здесь еще более существенна другая сторона дела.

А. Койре обратил внимание на характерную особенность приведенного отрывка. Галилей нашел количественную формулу закона. И тем не менее он ищет дальше. Он ищет более общий логический принцип, из которого вытекает закон падения. Уже одного этого достаточно, говорит Койре, чтобы опровергнуть тезис Маха о «позитивизме» Галилея¹¹.

Но какова природа этого более общего принципа?

Галилей ищет в природе линейные отношения. Он находит их для движения тела, предоставленного самому себе и движущегося равномерно. Расстояние, пройденное таким телом, пропорционально времени. Но вот перед Галилеем ускоренное движение. Здесь нарушена линейная связь между временем и пройденным расстоянием. Тогда Галилей предполагает, что «градус скорости» линейным образом зависит от времени, скорость увеличивается пропроционально времени. В первом случае независимой от движения, постоянной, инвариантной была скорость, во втором случае — ускорение. В случае неравномерного ускорения Галилей нашел бы инвариантную величину и связал бы ускорение линейным отношением с временем. Но для этого не было физических прообразов.

Отмеченная особенность письма к Сарпи очень характерна. По сравнению с законом изменения скорости более общим и исходным служит закон неизменности ускорения. Но в этих характерных для Галилея поисках заложена основная идея дифференциального представления о движении и относительности движения.

В «Беседах» теория равномерно-ускоренного движения изложена систематически. В течение третьего и четвертого дней Сальвиати, Сагредо и Симпличио читают латинский трактат Галилея «О местном движении» и обсуждают его содержание. Этим приемом Галилей включает в текст «Бесед» написанное ранее систематическое изложение своей теории.

Прежде всего отметим самое главное в определении равномерного движения, — самое главное с точки зрения генезиса дифференциального представления о движении.

Определение равномерного движения таково:

«Движением равномерным или единообразным я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою»¹².

К этому определению Галилей дает «Пояснение», в котором подчеркивается слово «любые», относящееся к промежуткам времени:

«К существовавшему до сего времени определению (которое называло движение равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово «любые», обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны»¹³.

Приведенные строки означают, что какой бы малый промежуток времени (и, соответственно, отрезок пути) мы ни взяли, определение равномерного движения должно оставаться справедливым. Если перейти от определения к закону (т. е. указать условия, при которых осуществляется определенное только что движение, например, «тело, предоставленное самому себе, движется равномерно»), то действие закона относится к сколь угодно малым интервалам времени и отрезкам пути.

Из «Пояснения» видно, что деление времени и пространства на сколь угодно малые части имеет смысл только потому, что возможны изменения скорости. Равномерное движение определяется для любых, в том числе бесконечно малых интервалов, потому что оно является негативным случаем неравномерного движения. Отсюда и вытекает, что деление времени и пути на бесконечное число частей, в которых сохраняется одно и то же отношение пространства к времени, антиципирует ускорения.

Переходя к естественному ускоренному движению — падению тел, Галилей разъясняет, почему рассматривается именно этот конкретный случай ускоренного движения.

«Хотя, конечно, совершенно допустимо представлять себе любой вид движения и изучать связанные с ним явления (так, например, можно определять основные свойства винтовых линий или конхоид, представив их себе возникающими в результате некоторых движений, которые в действительности в природе не встречаются, но могут соответствовать предположенным условиям), мы тем не менее решили рассматривать только те явления, которые действительно имеют место в природе при свободном падении тел, и даем определение ускоренного движения, совпадающего со случаем естественно ускоряющегося движения. Такое решение, принятое после долгих размышлений, кажется нам наилучшим и основывается преимущественно на том, что результаты опытов, воспринимаемые нашими чувствами, вполне соответствуют разъяснениям явлений»¹⁴.

Нарастание скорости происходит непрерывно. Таким образом, в каждый интервал времени тело должно обладать бесконечным множеством различных скоростей. Они, говорит Симпличио, никогда не могут быть исчерпаны. Эту древнюю апорию Галилей разрешает ссылкой на бесконечное число мгновений, соответствующих каждой степени скорости. Сальвиати отвечает на. замечание Симпличио:

«Это случилось бы, синьор Симпличио, если бы тело двигалось с каждой степенью скорости некоторое определенное время, но оно только проходит через эти степени, не задерживаясь более чем на мгновенье, а так как в каждом даже самом малом промежутке времени содержится бесконечное множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множеству уменьшающихся степеней скорости»¹⁵.

Галилей дает очень изящное и глубокое доказательство непрерывности ускорения — бесконечно малой величины интервалов, в которых скорость обладает определенным значением. Если бы тело сохраняло неизменную скорость в течение конечного времени, оно бы сохраняло ее и дальше.

«Предположив возможность этого, мы получим, что в первый и последний момент некоторого промежутка времени тело имеет одинаковую скорость, с которой и должно продолжать движение в течение второго промежутка времени, но таким же образом, каким оно перешло от первого промежутка времени ко второму, оно должно будет перейти и от второго к третьему, и т. д., продолжая равномерное движение до бесконечности»¹⁶.

Представление о мгновенной скорости, подчеркнем еще раз, вытекает из ускорений. Равномерное движение само по себе не требует отказа от старой концепции: скорость — это частное от деления конечного отрезка на конечное время. По существу, Галилей делит пространство, равное нулю, на время, равное нулю. Это тоже вопрос, адресованный будущему. Ответ был дан теорией пределов и понятием предельного отношения пространства к времени.

Рассматривать движение в точке и в течение нулевой длительности — это значит очень далеко отойти от эмпиризма. Но концепция мгновенной скорости — отнюдь не платоновская концепция. Так же как мысль о движении предоставленного себе тела. Так же как мысль о падении тела в отсутствие среды. Во всех этих случаях отрицания непосредственной эмпирической очевидности Галилей исходит из идеальных процессов, которые можно в каких-то иных явлениях увидеть, осязать, вообще воспринимать чувствами. Движение Земли нельзя увидеть, наблюдая полет птиц, перемещение облаков и т. д., но его можно увидеть, как думал Галилей, в явлениях приливов, т. е. в случае ускорения. Нельзя увидеть и даже представить себе скорость в точке и в течение мгновения. Но можно увидеть результат изменения таких мгновенных скоростей.

Путь от идеальных конструкций к эмпирически постигаемым результатам — это путь от скорости к ускорению, т. е. переход к производной высшего порядка. Здесь — глубокий гносеологический исток тех подходов к дифференциальному методу, который мы находим в динамике Галилея.

Изложив свой знаменитый закон падения тел («если тело, выйдя из состояния покоя, падает равномерно-ускоренно, то расстояния, проходимые им за определенные промежутки времени, относятся между собой как квадраты времени»¹⁷), Галилей переходит к эмпирической проверке законов падения — движению наклонной плоскости и качанию маятника.

Вивиани рассказывает, что Галилей наблюдал качания люстр в пизанском соборе и это дало ему первый импульс для открытия изохронности качания маятников¹⁸. При всей малой достоверности этого сообщения, быть может, Галилей действительно уже в Пизе заметил, что маятники качаются независимо от веса с одним и тем же периодом. Не исключено также, что эти размышления были как-то связаны с созерцанием произведений Бенвенуто Челлини — люстр пизанского собора. Здесь мы подходим к одному традиционному моменту, столь часто встречающемуся в биографиях ученых. Яблоко, упавшее перед взором Ньютона, продолжает традицию пизанской люстры. Можно думать, что и люстра и яблоко представляют некоторый интерес для психологии творчества, а в конечном счете и эпистемологический интерес.

Нет нужды доказывать, что закон падения Галилея и закон тяготения Ньютона не были записью эмпирических наблюдений. Индуктивистские иллюзии здесь не требуют разбора, вряд ли кто-нибудь станет их сейчас защищать. Но указанные законы не были и априорными. Понятия, служившие исходным пунктом дедукции (и обеспечивавшие механике Галилея и механике Ньютона то, что Эйнштейн называл «внутренним совершенством), допускали в принципе экспериментальную проверку выводимых из них заключений. И этой принципиальной возможности соответствует характерная психологическая черта: исходные абстракции интуитивно ассоциируются с чувственными образами. И наоборот, чувственные восприятия интуитивно ассоциируются с абстрактными понятиями. В какой-то мере подобные интуитивные ассоциации свойственны научному творчеству всех эпох, но для Возрождения и барокко, и для Галилея в особенности, они более характерны, чем для последующего развития науки. Абстрактный образ сложения двух движений Земли ассоциировался у него с зрительным образом адриатического прилива. В свою очередь, абстрактный подтекст непосредственных впечатлений вызывает то впечатление теоретической значительности, которое остается от любого описания явлений в сочинениях и письмах Галилея.

Это относится к описанию самых простых, привычных явлений и в особенности технических операций (нужно ли еще раз вспоминать венецианский арсенал!).

Через три столетия после рождения Галилея русский мыслитель написал великолепную формулу: «Природа не храм, а мастерская». У Галилея природа — это совокупность тел, движущихся по законам, которые демонстрируются в мастерских (конечно, в XIX в. «природа — мастерская» имело несколько иной смысл). Но для Галилея и мастерская была «природой» — она служила отправным макетом картины мира. Впрочем, в этом смысле «мастерской-природой» оказывался и реальный храм — пизанский собор.

Качание маятника — любого маятника, в том числе люстры в соборе, — показывает, что от тяжести качающегося тела не зависит время прохождения описываемой им дуги. Отсюда следует независимость скорости падения от различий в тяжести падающего тела. Первоначально Галилей для экспериментального доказательства закона падения пользовался наклонной плоскостью¹⁹. Замедляя падение, наклонная плоскость сводила к минимуму сопротивлению воздуха. Чтобы свести к минимуму трение, Галилей заменил падение тела по наклонной плоскости падением тела, подвешенного на нити. Исследование качания маятника было основой общей трактовки проблемы колебаний и акустических проблем.

Подведем некоторые итоги, относящиеся к понятиям негативной и позитивной бесконечности.

Равномерное Движение придает физический смысл понятию бесконечности как результата деления конечной величины. Тело сохраняет свою мгновенную скорость, которую мы сейчас понимаем как предел отношений приращения пути к приращению времени при стягивании последнего в мгновенье. Эта констатация связана с определением пространства — с его однородностью. Мы приписываем пространству интегральное свойство однородности, которое выражается в дифференциальном законе сохранения мгновенной скорости в каждой точке. Приписывая пространству интегральную закономерность, определяющую ход событий в каждой точке, мы рассматриваем пространство как заданное, актуально бесконечное множество точек.

Но, очевидно, подобное негативное определение поведения тела в последовательных точках его пути в последовательные мгновенья имеет смысл только в том случае, если оно антиципирует позитивное определение. Закон инерции является дифференциальным законом только в качестве частной негативной формы закона ускорения. Если мгновенные скорости тела в различных точках не могут отличаться одна от другой, то нет смысла вводить понятие мгновенной скорости.

Закон равномерного ускорения требует определения скорости как предела отношения приращения пути к приращению времени. Тем самым вводится дифференциальное представление движения, и путь движущейся частицы оказывается состоящим из точек, для каждой из которых задана вполне определенная характеристика. Она зависит от интегральных условий области, где определен закон изменения скорости, и эта область оказывается актуально бесконечным множеством точек. Теперь и движение по инерции требует дифференциального представления.

Возможность ускорений приводит к дифференциальному представлению движения по инерции, постоянство скорости становится дифференциальной действующей закономерностью, через которую действует интегральная закономерность, превращающая однородное пространство в актуально бесконечное множество точек. Очевидно, такой взгляд на движение по инерции антиципирует возможность ускорений.

Теперь следует обратить внимание на характерный для Галилея переход от того, что было здесь названо позитивной бесконечностью, к негативной бесконечности.

Выше, по поводу письма к Сарпи о равномерно ускоренном движении, говорилось, что Галилей хотел вывести закон изменения скорости из более общего, по его мнению, принципа инвариантности ускорения при неравномерном движении в его наиболее простой форме.

Что означает такая тенденция для проблемы позитивной и негативной бесконечности?

Непрерывное пространство, в котором каждая точка характеризуется одной и той же скоростью, проходящей через точку частицы, представляет собой негативно определенное бесконечное множество. В нем нет выделенных точек, отличающихся одна от другой поведением проходящей частицы. Под поведением частицы здесь подразумевается ее скорость.

Теперь возьмем пространство, в котором частица движется с равномерным ускорением. Скорость меняется, и каждая точка отличается от другой по поведению частицы, если поведение означает по-прежнему скорость. Но Галилей считает наиболее общим принципом бытия негативную бесконечность, инвариантность некоторой физической величины, некоторых пространственно-временных соотношений при движении. Именно в такой инвариантности он видит ratio мира, его гармонию. Движение не нарушает порядка в мире: оно сохраняет незыблемыми некоторые соотношения. Поэтому оно относительно. В противовес статической гармонии Аристотеля выдвигается динамическая гармония. Подобная идея лежит в основе галилеевой борьбы за гелиоцентризм, она же, как мы видим, определяет ход мысли в «Беседах».

Падающее тело не сохраняет неизменной скорости. Точки, из которых состоит траектория падающего тела, отличаются одна от другой, и мгновенье отличается от мгновенья по мгновенной скорости частицы. Почему же мир не становится хаосом, а остается космосом — упорядоченным множеством элементов?

Галилей переходит от скорости к ускорению. В простейшем случае неравномерного движения, в случае падения тел, ускорение остается одним и тем же для бесконечного множества точек и мгновений. В этом проявляется закон движения.

Он выражается в существовании двух множеств — бесконечного множества мгновений и бесконечного множества точек, в каждой из которых находится движущаяся частица в заданный момент. Если задано мгновенье, мы можем определить точку, в которой сейчас находится частица. Движение точки определяется дифференциальным законом.

Геометрическим законом определяется и изменение направления линии по сравнению с прямой в приведенной в предыдущей главе замечательной реплике Сальвиати: «чтобы сразу перейти к бесконечному числу перегибов линии, нужно изогнуть ее в окружность». Эта реплика — совершенно отчетливая формулировка фундаментальнейшей идеи классической науки. Она перекликается с весьма различными по характеру конструкциями будущего. Причем не только по содержанию, но и по тому торжеству геометрического архимедова духа, которым проникнута реплика Сальвиати.

Через два столетия это торжество вызвало у представителя совсем другой, совсем не архимедовой традиции весьма явное изменение тона философской речи.

В разделе «Количественная бесконечность» (Die quantitative Unendlichkeit) «Науки логики» (Wissenschaft der Logik) Гегель, вслед за Кантом, вспоминал известное стихотворение Галлера о бесконечности:

«Ich haufe ungeheuere Zahlen
Gebürge Millionen auf,
Ich setze Zeit auf Zeit und Welt auf Welt zu Häuf,
Und wenn ich von der grausen Höh'
Mit Schwindeln wieder nach dir seh',
Ist alle Macht der Zahle, vermehrt zu tausend malen,
Noch nicht ein Teil von dir
Ich zich' sie ab, und du liegst ganz vor mir»²⁰.

(Я складываю огромные числа, целые горы миллионов, я нагромождаю время на время и миры на миры, и когда, с этой страшной высоты, с кружащейся головой, я снова возвращаюсь к тебе, вся громадная сила чисел, умноженная тысячекратно, еще не составляет части тебя. Я отбрасываю это и ты вся передо мной).

Кант называл эти стихи «описанием вечности, вызывающим содрогание», и говорил о головокружении перед величием бесконечности. Гегель приписывал головокружение скуке, вызванной бессмысленным нагромождением величин, — «дурной бесконечностью». Он придавал смысл лишь последней строке стихотворения Галлера («Я отбрасываю это и ты вся передо мной») Гегель говорил об астрономии, что она достойна изумления не вследствие дурной бесконечности, которой подчас гордятся астрономы, а напротив, «вследствие тех отношений меры и законов, которые разум познает в этих предметах и которые суть разумное бесконечное в противоположность указанной неразумной бесконечности»²¹.

Критика пиетета по отношению к дурной бесконечности представляет собой один из самых остроумных и ясных разделов, на которых читатель отдыхает от темных и тяжеловесных периодов «Wissenschaft der Logik».

Но что означает последняя строка стихотворения Галлера — неожиданный отказ от нагромождения все больших и больших величин и скачок к бесконечности, когда она оказывается перед нами («du liegst ganz vor mir»), легко, естественно, без усилий?

Мы перестаем сгибать линию в ста, тысяче, миллионе точек, чтобы получить многоугольник с бесконечным числом сторон. Мы сгибаем ее в окружность. Иначе говоря, мы задаем бесконечное множество изменений направления линии, указывая закон таких изменений (уравнение окружности). Это и есть великий скачок от мысли о перечислении элементов множества (включая тщетные попытки представить исчисленные элементы, неисчислимых множеств) к оперированию законами, — т. е. сопоставлениями однозначно связанных одно с другим бесконечных множеств. Бесконечность их выражает универсальность закона. Закон относится к бесконечному множеству случаев. Бесконечность этого множества — актуальная бесконечность, но, разумеется, здесь и речи нет о сосчитанной бесконечности. В естественнонаучном законе сопоставляются два множества: бесконечное множество некоторых механических, физических, химических и других условий (например, определенных распределений тяжелых масс) и множество величин, зависящих от этих условий (например, множество сил, действующих между тяжелыми массами).

Естественнонаучный закон осуществляется всегда и везде, где налицо причины, вызывающие указанные законоследствия²². Это «всегда и везде», независимость закона от изменения пространственных координат и времени, постоянство действия закона представляет собой пока еще качественное, исходное понятие для ряда фундаментальных количественных понятий — преобразования, инвариантности, относительности.

Как мы теперь знаем, дифференциальные законы аналитической механики и физики исходят из предельных отношений пространства, времени и других переменных. Понятия предела, предельного перехода предельных отношений — это и есть расшифровка галилеевского скачка от трудностей, о которых говорил Симпличио, к неожиданному прямому представлению бесконечности.

Нетрудно видеть, что к этой же идее Галилея примыкает идея Кантора, который разрывает связь бесконечности со счетом и основывает ее на параллелизме и взаимно-однозначном соответствии между множествами.

Но бесконечность точек и мгновений, определяемых неизменным ускорением, оказывается негативной бесконечностью. Закон движения говорит о сохранении динамической переменной, точки и мгновения определяются одним и тем же значением этой переменной. Мы вновь можем говорить об однородности пространства: точки эквивалентны по поведению частицы (теперь это значит — по ее ускорению).

Как мы видели, для этого Галилею даже не нужно выходить за пределы кинетических представлений и учитывать динамическое взаимодействие тел. Тяжесть — причина равномерно-ускоренного движения — остается у Галилея чисто кинетическим понятием.

Тот же метод линеаризации закона движения с помощью перехода к иной динамической переменной может быть применен и дальше. Если тело движется с переменным ускорением, то в простейшем (для этого нового класса) случае остается постоянным ускорение ускорения. У Галилея уже готов набор того, что мы бы теперь назвали производными пространства по времени: первая производная (скорость), вторая производная (ускорение) и т. д.

Иерархия аналогичных понятий была уже у парижских номиналистов XIV в. (особенно у Орема) и у непосредственных предшественников Галилея в XVI в. Но у Галилея мы встречаем отчетливое ударение на непрерывности изменения динамических переменных движущегося тела.

Все же переход от скоростей к ускорениям (от позитивной бесконечности к негативной) еще очень далек от иерархии производных, от понятий дифференциального и интегрального исчисления. Здесь, как и везде, труды Галилея — это не арсенал математического оружия, а только строительная площадка, где сооружается такой арсенал.

И, как везде, именно это и делает творчество Галилея особенно интересным сейчас, когда приближается (отчасти началась) перестройка арсенала. Причем творчество Галилея в его конкретной исторической обстановке. В таком аспекте видна первоначальная парадоксальность исходных концепций классической науки, тех концепций, которые впоследствии казались очевидными.

Выше говорилось об эмпирической (противоречит привычным наблюдениям) и логической (противоречит привычной теории) парадоксальности исходных фактов при построении новой физической теории. Равная скорость падения различных по весу тел была парадоксальной в обоих смыслах. Так же как непрекращающееся движение предоставленного себе тела. Никто не наблюдал ни движения тела, полностью предоставленного самому себе, ни падения тел в абсолютной пустоте. Логическая парадоксальность также была налицо в обоих случаях. И движение, не поддерживаемое средой, и падение, не задерживаемое ею, противоречили аристотелевой физике.

Мысль о логической парадоксальности галилеевой концепции падения тел может вызвать возражения. Ведь логика сохраняется при изменении исходных посылок, она не имеет, как это обычно считают, онтологического характера, и из новых, не аристотелевых физических принципов можно получить соответственно новые выводы, пользуясь той же аристотелевой логикой. Отсюда следует, что равная скорость падения тел не является логически парадоксальной. Она противоречила физике Аристотеля, но не его логике.

Но все это в действительности не так. И теория равномерного движения, и теория равномерно-ускоренного движения, и выдвинутая Галилеем программа геометризации физики, и «архимедовские» тенденции в его творчестве, — все это означало переход к новой логике. От логики с двумя оценками — к логике с бесчисленным множеством оценок.

В самом деле. Применительно к проблеме частицы и ее положения в пространстве можно было обойтись логикой Аристотеля, с двумя оценками «истинно» и «ложно» и с исключенной иной, помимо этих двух, оценкой. Частица находится либо не находится в данной точке. Но если частица движется? Здесь сразу возникают парадоксы Зенона. Природа их — логическая. На вопрос: находится ли частица в данной точке, нельзя дать ни положительный, ни отрицательный ответ. Аристотеля это мало смущало. В его физике движение определяется положением точки в начальный момент и в конечный момент. Об этом уже говорилось. Новая концепция движения была иной. Ее отчетливо высказал Кеплер. Он писал: «Там, где Аристотель видит между двумя вещами прямую противоположность, лишенную посредствующих звеньев, там я, философски рассматривая геометрию, нахожу опосредствованную противоположность, так что там, где у Аристотеля один термин: «иное», у нас два термина: «более» и «менее»»²³.

Кеплерова «опосредствованная противоположность» может означать, что между каждыми «двумя вещами» (в концепции движения — между каждыми двумя значениями координат частицы) рассматривается бесчисленное множество «посредствующих звеньев» (промежуточных значений). Термины «больше» и «меньше» могут приобрести при этом метрический смысл: достаточно сопоставить бесконечное множество положений частицы числовому ряду. Но это сопоставление будет физически содержательным, если известен закон движения, определяющий положение частицы и изменение положения (скорость) от точки к точке и от мгновения к мгновению.

Если путь, пройденный телом, оказывается бесконечным множеством точек, в которых должно быть описано состояние частицы, если аналогичным образом время оказывается бесконечным множеством мгновений, то физическая теория уже не может ограничиться чисто логическими противопоставлениями типа: «тело находится в данный момент в своем естественном месте» и «тело не находится в своем естественном месте». Что соответствует в логике новому, дифференциальному представлению о движении?

Частица — субъект логического суждения, место частицы — предикат. Суждение состоит в приписывании частице определенного места. Оно, это суждение, может быть истинным или ложным. Но что такое бесконечное множество смежных точек, через которые проходит частица? Это — бесконечное, непрерывное предикатное многообразие, бесконечный ряд предикатов, которые бесконечно мало отличаются один от другого. Когда мы рассматриваем траекторию частицы в целом (в этом состоит интегральное представление о движении), можно считать эту траекторию одним предикатом частицы: частица обладает или не обладает такой-то определенной траекторией. Но в пределах дифференциального представления о движении, когда мы рассматриваем его от точки к точке, мы должны считать предикатом каждую точку, каждое положение частицы и характеризовать движение непрерывным предикатным многообразием. Соответственно, чтобы охарактеризовать движение частицы, нам понадобится не одна оценка «истинно», а бесконечное число таких оценок, потому что, описывая движение, мы утверждаем, что частица проходила через все точки на своей траектории. Каждая мыслимая траектория, через которую частица не проходила, становится бесконечным множеством предикатов, при приписывании которых данной частице мы нуждаемся в оценке «ложно», следовательно, нам понадобится бесконечное число и этих оценок. Если мы можем говорить с полной достоверностью о пребывании частицы в каждой точке траектории и об ее отсутствии во время описываемого движения во всех других точках пространства, то мы пользуемся бесконечным множеством оценок «истинно» и бесконечным множеством оценок сложно». Бесконечному множеству оценок «ложно» (оценок суждения о пребывании частицы в данной точке) соответствует бесконечное множество точек на кривых, полученных при вариации. Бесконечному множеству оценок «истинно» соответствует бесконечное множество точек на действительной траектории, определенной принципом наименьшего действия. Логику с таким числом оценок можно назвать бесконечно-бивалентной.

Это еще не математика, здесь еще нет нового алгоритма, но это уже открытая перед математикой дверь. Перед математикой бесконечно малых.

Теперь мы можем сделать из этих логических противопоставлений динамики Галилея и перипатетической динамики собственно исторический вывод. Он относится к психологическому эффекту и психологическим условиям дифференциального представления о движении.

Логические аргументы могут (тоже не без некоторой психологической перестройки) обосновать переход от одной физической концепции к другой. Но что делать, если сама логика должна измениться, чтобы новые физические идеи получили непротиворечивый смысл? В подобном случае психологическая перестройка гораздо существеннее и радикальнее, чем в том случае, когда одна физическая теория переходит в другую в рамках неизменной логики.

Нам трудно представить себе, какое интеллектуальное напряжение понадобилось, чтобы усвоить новый взгляд на движение. Логическая изощренность номиналистов была недостаточной. Вопрос мог быть решен апелляцией к опыту. К новому опыту, к опыту новых общественных кругов. И все это произошло чрезвычайно быстро, на глазах одного поколения.

Старая логика могла быть спасена при переходе к новой физике, если бы последней приписали только феноменологическое или условное значение. Собственно говоря, такой выход был указан уже Зеноном, когда он из противоречий (по существу, логических, неразрешимых без перехода к бесконечно-валентной логике) вывел отсутствие движения. Причем не феноменологического движения, а действительного. В XVII в. можно было объявить орбиты планет с центром — Солнцем условными геометрическими абстракциями. Тогда сохранялась статическая гармония неподвижных естественных мест, механика мгновенных скоростей и ускорений становилась условной, а вместе с ней — инфинитезимальное представление и новая логика.

Деятельность Галилея после «Диалога» и процесса 1633 г. была отказом от такого пути и выбором другого, включавшего новую астрономию, новую механику, новую математику и логику.

Примечания

1. Aristoteles. Becker, Berlin, 1831. Physica, III, (Г), 5, 206a. Русск. перевод: Аристотель. Физика. Пер. В.П. Карпова. М, 1936, стр. 52.

2. Ed. Naz., VI, 529; сб. «Галилео Галилей», стр. 154.

3. Ed. Naz., VII, 58 («Диалог», 41).

4. Ed. Naz., VII, 353 («Диалог», 238).

5. Ed. Naz., VII, 397 («Диалог», 267).

6. Ed. Naz., VII, 347 («Диалог», 234).

7. Ed. Naz., VII, 347 («Диалог», 234).

8. Ed. Naz., VII, 348—349 («Диалог», 235).

9. См.: Об основаниях геометрии. Сб. классических работ. М., 1956, стр. 323.

10. Ed. Naz., X, 115.

11. Koyré, II, 5.

12. Ed. Naz., VIII, 191 («Беседы», 282).

13. Ed. Naz., VIII, 191 («Беседы», 282—283).

14. Ed. Naz., VIII, 197 («Беседы», 291—292).

15. Ed. Naz., VIII, 200—201 («Беседы», 298).

16. Ed. Naz., VIII, 201 («Беседы», 299).

17. Ed. Naz., VIII, 209 («Беседы», 313).

18. Ed. Naz., XIX, 603.

19. Ed. Naz., VIII, 214—267 («Беседы», 323—414).

20. Гегель. Соч., т. V. М., 1937, стр. 256.

21. Гегель. Соч., т. V, стр. 257.

22. Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 588.

23. J. Kepler. Opera omnia, t. I. Frankfurt, 1858, p. 423.