Издание сочинения, под заглавием: «Размышления о метафизике вычисления бесконечно малых»

Слово «науки», найденное мной в письме Карно, заставило меня вспомнить о математическом его труде, изданном среди занятий государственными делами. Чувствую, что вам обременительно слушать его разбор после столь великих событий; но здесь, в академии, нельзя забывать ученого в человеке государственном. Замечательное сочинение о машинах показало, что надо было ожидать от ума твердого, светлого и проницательного. Молодой офицер принес свои дарования на жертву отечеству, отказался от мирной жизни геометра и вступил на поприще, где шумели бури, где свирепствовали наглые трибуны; однако же, он не переставал сожалеть о своих пожертвованиях, и геометрия всегда же была любимым его отдохновением. Обширные обязанности поглощали все его время; он лишен был удовольствия заниматься великими задачами, требующими продолжительных и непрерывных работ; он избирал также вопросы трудные, но которые можно было обдумывать, пользуясь немногими свободными минутами, без бумаги и карандаша, на прогулке, среди волнующейся толпы, за обедом и во время бессонницы от изнурительных трудов. Он обратил свои размышления на метафизику вычислений. Ныне такие исследования, кажется, вышли из моды, потому что и в науках царствует мода. Но обратитесь к тому времени, когда математика приняла учение о количествах неопределенных, возмущавшее многие строгие умы, и вы согласитесь, что оно было терпимо более по привычке, нежели по убеждению.

Между этими количествами прежде всего представляются иррациональные. Строгость древних геометров пользовалась ими с великой осторожностью; новые также хотели освободиться от них; но «они победили своим множеством», как выразился остроумный автор геометрии бесконечных.

За количествами невыразимым числом следуют количества невозможные, мнимые, истинные символы, у которых не только величина, но смысл для многих непонятен. Несмотря на это, их вычисляют, не сомневаются в том, что их можно складывать, вычитать, перемножать, делить одни на другие, как количества действительные; в конце вычисления они часто уничтожаются и получаются те же самые выводы, которых можно достигнуть без помощи этих иероглифов. Надо признаться, что такие искусственные вычисления оправдываются многочисленными их приложениями к труднейшим вопросам; но не надо забывать, что многие геометры в своих доказательствах стараются избегать мнимых количеств, потому что поверка не имеет силы доказательств.

Понятие бесконечного вошло в геометрию с того времени, как Архимед определил приближенное отношение диаметра к окружности, уподобив ее многоугольнику с бесконечным числом сторон. Бонавентур Кавальери пошел далее: бесконечные количества он разделил на разные порядки, ввел бесконечно малые, уничтожающиеся перед количествами определенными, которые в свою очередь уничтожаются перед бесконечно большими. После этого нельзя удивляться, что сам изобретатель, несмотря на отеческую любовь к своему изобретению, сказал: «вот затруднения, которые нельзя победить даже оружием Ахиллеса».

Количества бесконечно малые вошли в геометрию даже прежде бесконечно больших, и не только для облегчения или для сокращения доказательств, но как непосредственные и необходимые следствия из основных свойств кривых линий. Действительно, обратим внимание на простейшую из них, — на окружность, однако же не на окружность физическую, которую чертим нашими грубыми снарядами, а на окружность идеальную, на воображаемую, без ширины, без всяких неровностей; проведем к ней мысленно касательную; при точке их взаимного прикосновения образуется угол, называемый углом сомкнутия. При самом начале наук математических, геометры много рассуждали об этом угле; за две тысячи лет они строго доказали, что через его вершину нельзя провести прямой линии, которая содержалась бы между его сторон, т. е. между касательной и окружностью. Теперь спрашиваю: неужели угол, в котором не может помещаться прямая линия без всякой ширины, не есть количество бесконечно малое?

Но угол сомкнутия, в который нельзя вставить прямой линии, позволяет чертить в нем сколько угодно окружностей. Эта истина доказана непреложно, и никто ее не оспаривает. Итак, в самой начальной геометрии встречаемся с количеством бесконечно малым, способным делиться на произвольное число частей. Человеческий ум не может ясно понимать этого заключения, но оно несомненно, и ум должен стремиться. От этого бесконечно малые количества, на которых Лейбниц основал дифференциальное исчисление, подлежали многим возражениям. Этот великий геометр, так же, как Кавальери, разделил их на различные порядки: второго порядка уничтожались против первого, которые в свою очередь уничтожались перед количествами определенными. Но этим условиям, при всяком преобразовании формул, можно отбрасывать многие количества, и несмотря на то, окончательные результаты считаются строго точными. Понятно, что многие геометры сомневались в таком заключении и все вычисления принимали только за приблизительное. Понятно, что епископ Клойна, Беркелей имел право сказать: «Посмотрите на математиков: они допускают такие тайны, которые для нашего ума недоступнее таинств веры».

Эти математические тайны ныне не существуют для изучающих дифференциальное исчисление в флоксиях Ньютона, в сочинении Даламбера, принявшего пределы, к которым приближаются отношения разностей определенных функций, и наконец, в теории функций Лагранжа. Но как способ Лейбница удержал за собой первенство, потому что он всех проще и удобоприложимее: то надобно было его рассмотреть, проникнуть в его сущность и увериться в точности проистекающих их него правил, не прибегая к поверкам посредством флоксий или пределов. Это требование, то есть исследование истинного смысла дифференциалов, составляет предмет книги Карно, изданной в 1799 г. под скромным названием: «Размышления о метафизике бесконечно малых». Осмеливаюсь сказать, что авторы, заслуживающие уважение, недостаточно пользовались сочинением Карно. Много будет пользы от введения в формулы количеств бесконечно малых или элементов всех количеств и от пренебрежения ими, по той причине, что вычисляющий не только не делает ошибок, но еще поправляет ошибки, вознаграждая их одни другими. Словом, Карно открыл истинное значение способа Лейбница и объяснил его с такой основательностью, какой не находим ни у одного из знаменитейших европейских геометров.