Монж сделан репетитором и профессором в мезьерской школе. Его труды по начертательной геометрии и по высшим исчислениям. Его способность в преподавании. Его характер и женитьба

Дефилировать укрепление, т. е. защитить его от прямых выстрелов осаждающих, — вот задача, которую всегда предлагали для упражнения молодым военным инженерам. Когда Монж поступил в мезьерскую школу, тогда решение этой знаменитой задачи основывалось на чистой ощупи и невыносимо продолжительных вычислениях, поручаемых обыкновенно несчастным лепщикам. Дошла очередь и до Монжа, которому данные сообщены были начальником главного штаба. Монж скоро явился со своим решением, но гордый офицер, не приняв его, сказал: «Для чего я буду поверять решение, без сомнения, неверное, потому что в такое короткое время нельзя даже цифр привести в порядок? Я верю, что можно вычислять скоро, но не верю чудесам».

Но молодой ученик упорствовал и наконец добился позволения говорить. Монж сперва сказал, что начальник справедливо усомнился в его решении, потому что по употребляемым до сих пор способам никакой калькулятор не может скоро вычислить задачи. «Поэтому, — прибавил Монж, — я употребил новые способы и прежде всего прошу их рассмотреть». Твердость восторжествовала над предрассудком. Новая дорога Монжа была осмотрена со всех сторон и оказалась прямой, удобной и вполне методической. За открытие этой дороги Монж получил место репетитора математики.

Выйдя из класса лепщиков и явившись перед будущими инженерами в качестве преподавателя, Монж не боялся уже будущей своей судьбы: перед ним открылась совсем другая перспектива. Но он радовался не перемене своей судьбы, радовался тому, что наконец, похвалили его не за одну ловкость рук. Похвалы за искусные чертежи казались гениальному ученику столь унизительными, что он часто разрывал самые лучшие из них и топал ногами.

Время вступления Монжа в звание репетитора нужно считать эпохой создания той части математики, которую впоследствии начали называть начертательной геометрией.

Со стороны пользы, начертательная геометрия есть прекраснейший листок в ученом венке нашего товарища. Поэтому я обязан дать о ней общее понятие. Я понимаю, что изложение великого открытия Монжа может показаться сухим, но я имею честь говорить перед собранием, которое верно оценит мою обязанность, да и можно ли в биографии геометра не упоминать о математике?

Геометрия начертательная, геометрия аналитическая занимается линиями и поверхностями, способными для строгого определения. Это ограничение принадлежит Монжу. Что он понимал под ним?

Поверхность, строго определенная, не есть поверхность, которую можно описать обыкновенным языком, как, например, поверхность шара. Вообще, поверхность строго определенная есть та, в которой положение каждой ее точки выводится из общего алгебраического выражения и посредством однообразных способов вычисления, т. е. посредством одной перемены букв на цифры.

После этого предварительного замечания, предлагаем по возможности краткое объяснение предмета начертательной геометрии.

Плоская фигура изображается на плоскости без перемены отношений между ее частями; ее изображение есть ее миниатюра; линии, которые в натуре вдвое, втрое, вдесятеро и пр. больше других линии, остаются такими же и на чертеже.

Но совсем другое бывает в изображении на плоскости тела с тремя измерениями — тела, имеющего длину, ширину и толщину. При его черчении части его изменяются. Линии, равные между собой на поверхности тела, становятся не равными на плоскости, но отношения между углами, составляемыми его ребрами или диагоналями, не меняются и в плоском чертеже.

Несмотря на такие затруднения, рисовальщики, живописцы, посредством искусственных способов, умеют изображать сложные предметы, памятники, здания, машины. В этих случаях они пользуются правилами линейной перспективы, перспективы воздушной и правилами так называемых светло-теней. Но живописные изображения, удовлетворяющие простому зрению, ничего не значат для архитектора и инженера, для которого нужны точные величины частей рисунка.

На обширных работах не видим ли множество камней различных величин и форм и обозначенных номерами? Это истинный хаос, но подождите: придет каменщик и начнет их складывать по номерам, и хаос превращается в великолепный свод, предварительно составленный в воображении архитектора в великолепные аркады с математической точностью и украшенные карнизами, зубцами, стрельчатыми башнями, и пр., и пр.

Плотник строит также замечательные здания, составляя их из частей также предварительно заготовленных, которые как бы сами собою складываются, подобно шахматной доске, под руками искусного столяра.

Эти прекрасные, великолепные задачи не могут быть разрешаемы без предварительных рисунков, составление которых сделалось весьма простым, без всяких затруднении, когда основали его на ясных и доказанных правилах. Старые архитекторы составляли их с помощью, так сказать, врожденной геометрии, с помощью инстинкта, и каждый из них имел свою тайну; но ни один из них не мог изобрести начертательной геометрии, потому что никто не воображал, что черчение рисунков может быть основано на общих геометрических правилах и что слепая практика для того недостаточна. Если бы у какого-нибудь архитектора пропал его портфель, то он не знал бы, что делать, отказался бы от своего ремесла.

Когда инженерное искусство основывалось на грубом эмпиризме, тогда начальники различных школ совсем не понимали достоинства способов, принятых в их заведениях. В их сочинениях нередко встречаются странные вызовы: «бьюсь об заклад на 10, 20, даже на 100 тысяч ливров за точность моих способов». Но эти вызовы были безопасны, потому что не было экспертов, способных разрешать споры, в которые часто вмешивались правительственные власти. Так, например, художнику Боссу запрещалось употреблять способы Дезарга, предложенные им в курсе перспективы для королевской школы живописи. Приказание не имело никакого основания; ныне мы знаем, что способы Дезарга бы-ли совершенно верны. Парламент напрасно вступался в дело искусств и науки: но тогда власти стремились подчинить себе даже свободу человеческой мысли.

Дезарг стоял во главе тех достойных людей, которые, наконец, правила черчения успели соединить с элементарной геометрией, но, к несчастью, их доказательства были тяжелы, неясны, сбивчивы; их не могли принимать простые каменщики и плотники.

От чего происходила сложность решений? От того, что при каждой задаче надо было составлять целую науку. Если будем подражать этому и в других вопросах математических, то превратим науку в непроницаемый хаос. Если алгебраист при каждой задаче, относящейся к умножению, делению, извлечению корней, будет объяснять правила законов: то он попадет на ту трудную дорогу, по которой ходили старые стереотомисты.

Монж прочистил этот хаос, показав, что графические решения геометрических задач касательно тел с тремя измерениями основываются на небольшом числе правил, изложенных им с чудесной ясностью. После того ни один самый сложный вопрос не остался исключительным достоянием людей с высшими способностями. Начертательная геометрия Монжа проникла в ряды простых работников, потому что они начали понимать ее легко, скоро и без школьного учения. Чтобы вполне оценить услугу Монжа, надо хорошо знать состояние стереотомии того времени. Трактат нашего товарища о начертательной геометрии сделался столько же популярным, как басни Лафонтена. Лагранж, после одной лекции своего друга, сказал: «Не слыхав Монжа, я не знал, что хорошо знаю начертательную геометрию».

Начертательная геометрия, основанная на простых правилах положений, разрешает не одни задачи, относящиеся к постройкам; она предлагает способы открывать тайные и драгоценные свойства ограниченного пространства, что доказали Монж и его последователи многими примерами. Открытием Монжа особенно дорожила мезьерская школа; она гордилась тем, что в ней началась полезнейшая часть математики; но, гордясь, она не забыла и материальных выгод: новую науку покрыла тайной. Начальники школы говорили, что не нужно помогать иностранцам, которые пусть остаются при их несчастной рутине; пусть ощупью производят свои постройки, переламывают их несколько раз, не имея возможности сообщать им надлежащей прочности; искусство строить скоро и прочно пусть навсегда останется достоянием французских военных инженеров.

Хотя эти правила были заимствованы из патриотизма, однако они напитаны непохвальной завистью и недоброжелательством к человечеству. Не послушались голоса истины и справедливости и запретили Монжу и письменно, и словесно открывать его тайны. Это была особенного рода инквизиция, которая кончилась в 1794 г. с учреждением нормальной школы.

Насильственное пятнадцатилетнее молчание Монжа не совсем было потеряно для науки. Не имея позволения выдавать в свет решения вопросов аналитической геометрии по изобретенным им способам проложения, к тем же вопросам он приложил трансцендентный анализ, и как на то не было запрещения, то труды его немедленно открыли ему дорогу к почтеннейшему месту в ученом мире.

Несмотря на трудности предмета, попробую дать понятие о главном открытии Монжа в высшей геометрии. Несколько предварительных замечаний облегчат исполнение моего намерения.

Когда хотим узнать, что данная линия есть кривая, тогда приближаем к ней линию прямую.

Если захотим знать более, т. е. если захотим определить степень кривизны данной линии и в данном на ней месте, то вычисляем радиус такой окружности, которая, проходя через данную точку, как возможно более приближается к кривой. Такая окружность называется в геометрии окружностью кривизны. Чем менее ее радиус, тем более кривизна, и, обратно, наибольший ее радиус соответствует наименьшей кривизне. Поэтому некоторые геометры говорят, что окружность кривизны прямой линии имеет радиус бесконечный.

От кривых на плоскости, или от кривых плоских переходим к поверхностям.

Желая получить ясное понятие о различных кривизнах поверхности в какой-нибудь ее точке, сперва через данную точку проводят нормальную к поверхности, а потом через эту нормальную пересекают поверхность множеством плоскостей; каждая из них образует кривую линию, которая, как элемент поверхности, покажет ее кривизну в определенном направлении.

Между всеми этими криволинейными и нормальными сечениями есть одно, которое, сравнительно, имеет наибольшую кривизну, а другое — наименьшую. Две плоскости, в которых находятся сечения наибольшей и наименьшей кривизны, перпендикулярны одна к другой.

Кривизны нормальных сечений, содержащихся между сечениями наибольшей и наименьшей кривизны, определяются посредством этих последних, и притом по общему весьма простому правилу.

Эта теория сечений различной кривизны принадлежит Эйлеру — геометру, которого без метафоры и без гиперболы можно назвать воплощенным анализом. Кто владеет качеством, необходимым для успехов в науках, качеством удивляться кстати и справедливо, тот не откажет в своем удивлении описанным открытиям.

Посмотрим, уместно ли здесь слово «удивление»?

Всякое уравнение по трем переменным количествам представляет поверхность. Если в нем переменные в первой степени, то оно выражает плоскость. Из уравнения второй степени выходит эллипсоид, параболоид, гиперболоид или поверхности, которые суть видоизменения эллипсоида. Если перейдем к уравнению третей степени, то встретим в нем столько поверхностей, что нельзя даже пересчитать их. Число таких поверхностей увеличивается в огромнейшей пропорции с переходом от третей степени к четвертой, от четвертой к пятой, и пр.

Воображение наше не может обнять разнообразия всех форм поверхностей, представляемых алгебраическими уравнениями всяких степеней. Но эти формы имеют общий характер, т. е. во всякой точке, взятой на какой угодно поверхности, два нормальных сечения наибольшей и наименьшей кривизны перпендикулярны между собой, и зависимость от них промежуточных сечений выражается простейшим законом. Итак, можно сказать, что эта теорема Эйлера назначает предел, из которого не выходят кривизны поверхностей, несмотря на их бесконечное многообразие.

Геометры, удивляясь глубокой теории Эйлера, думали, что гений его исчерпал все предметы. Монж показал их ошибку. Эйлер рассматривал на упомянутых сечениях дуги элементарные или дуги бесконечно малые: Монж последовал за ними по всему их протяжению, и вот что увидал. Положим, что на поверхности взяли вы какую-нибудь точку и провели к ней нормальную; потом провели другую нормальную в другой точке, весьма близкой к первой, и нашли, что вторая нормальная не встречается с первой, т. е. нормальные находятся в разных плоскостях. Если вы привыкли рассуждать строго, то непременно спросите: во всех ли местах поверхности подобные две нормальные не встречаются? Не во всех: существуют два направления, и только два, в которых нормальные встречаются. Эти направления, подобно сечениям наибольшей и наименьшей кривизны, перпендикулярны между собой. Монж назвал их линиями кривизны.

Линии кривизны Монжа так же удивительны, как сечения Эйлера. Итак, имена великих геометров всегда будут соединены двумя капитальными открытиями в свойствах пространства, ограниченного всякой кривой поверхностью, строго определяемой.

В Политехнической школе были уроки необязательные, назначенные для развития в учениках склонностей к наукам; ныне эти уроки уничтожены; но тогда их посещали многие профессора в знак взаимного уважения. На одном из таких уроков Монж прикладывал свою теорию к эллипсоиду. По окончании урока, товарищи Монжа изъявили свое удивление в общих словах; но Лагранж выразился откровеннее: «Вы, любезный товарищ, открыли превосходные теоремы; я желал бы, чтобы это открытие было сделано мною».

Монж признавался, что ни один комплимент не действовал так сильно на его сердце.

Прошу позволения продолжить здесь еще несколько общих, весьма кратких замечаний о третьем труде Монжа, также украшающем его поприще.

Когда Декарт приложил алгебру к геометрии, т. е. когда он сделал самое блестящее, самое прочное из своих открытий, тогда геометры сперва употребили его для рассмотрения свойств плоских линий, выражаемых уравнениями первой и второй степени. По окончании этого дела, надо было перейти к линиям третьего, четвертого и пр. порядков. Ньютон занимался линиями третей степени и насчитал их 72; линии четвертого порядка он не осмелился даже разделить на виды, потому что одних родов нашел 146.

Очевидно, что эту классификацию кривых линий нужно оставить, как совершенно бесполезную; подобная классификация поверхностей даже невозможна!

Монж, имея в виду всегда практическую пользу своих исследований, сообразил, что надобно употреблять в дело какую-нибудь поверхность, тогда строители не заботятся о степени ее уравнения, но имеют надобность в ясном понятии об ее происхождении. По этой причине прежнюю классификацию поверхностей он заменил новой, основанной на их происхождении, и таким образом рассмотрел в совокупности свойства поверхностей конических, поверхностей вращения, и пр., не обращая внимания на их, так сказать, алгебраическую иерархию.

Исполнение этой глубокой мысли заставило его прибегнуть к помощи того особенного рода вычисления, которое Даламбер открыл при исследовании движения жидкостей, т. е. к вычислению частных разностей. Монж употреблял его с таким искусством и с такой ясностью, что его исследования можно считать окончательным усовершенствованием наук математических в продолжение XVIII столетия.

Первые рассуждения Монжа об уравнениях поверхностей, выражающих их происхождение, были напечатаны в «записках Туринской академии» на 1770 и 1773 г.г. Вероятно, сочтут любопытным знать суждение Лагранжа о труде Монжа, который отослал его в Турин со следующей скромной оговоркой: «Я уверен, что идеи часто остаются бесплодными в руках людей обыкновенных, а искусные геометры извлекают из них большую пользу. По этой причине препровождаю мои исследования в Туринскую академию». На эту тонкую похвалу туринским геометрам Лагранж отвечал с обыкновенным своим простосердечием: «этот пострел (diable d'homme) со своим происхождением поверхностей идет к бессмертию». В словах Лагранжа я не вижу ни малейших следов зависти; напротив, они мне кажутся самой верной и самой чистосердечной похвалой замечательному труду Монжа.

В 1768 г., по смерти Камюса, экзаменатора инженерных воспитанников, занял эту должность Боссю, а Монж из репетитора перешел на профессорскую кафедру последнего.

Спустя три года, в 1771 г., по смерти аббата Нолле, поручили Монжу преподавание физики. Таким образом, в одно время занимал он две кафедры в мезьерской школе, и по своему усердию и способностям на каждой из них был превосходен.

Как репетитор, Монж занимался с каждым воспитанником отдельно, в зале, назначенной для черчения; но, получив кафедры математики и физики, он читал свои лекции всем ученикам и с возможно полным успехом. Знавшие и не забывшие неоспоримую славу Монжа, как преподавателя в парижском Атене, в нормальной школе и в школе Политехнической, без сомнения, не сочтут излишними мои замечания о причине его необыкновенных успехов в качестве преподавателя. Желаю, чтобы мои замечания принесли пользу антиподам Монжу в деле преподавания.

Профессор Монж принадлежал к той знаменитой философской школе, которая — повторяю его слова — за ничто считала велеречивых говорунов и находила различие только между тем, кто совсем не умел объясняться, и тем, кто хорошо говорил; а по мнению Монжа, хорошо говорил тот, кто ограничивался только существенным, необходимым и был ясен и доступен для самых ленивых и недеятельных умов. Эти требования Монж исполнял с безукоризненным искусством. Но если бы вы захотели искать в нем таланта ораторского, то слух ваш был бы поражен неправильностью произношения: за словами, произносимыми почти нараспев, вы услыхали бы скороговорку, способную останавливать самое напряженное внимание; вы согласились бы с теми, которые считали Монжа косноязычным. Но вооружитесь небольшим терпением, и вы тотчас очаруетесь ясностью его доказательств и невольно почувствуете желание прервать торжественное молчание амфитеатра, подобно одному из его отличнейших слушателей, который раз вскричал: «И многие говорят лучше Монжа, но никто не умеет так хорошо преподавать».

Многие из профессоров возбуждают уважение многочисленных слушателей своей благородной наружностью, своей самоуверенностью и изящными манерами; Монж не имел ни одного из этих преимуществ. У него было лицо широкое, глубоко впалые глаза почти совершенно закрывались густыми бровями; нос сплюснутый и толстые губы были также непривлекательны; но все знают, что в портретах знаменитых живописцев неправильности физиономии скрываются под блестящим колоритом: в натуре колорит заменяется душевными качествами, распространяющими на лице оттенок, приводящий в гармонию все его части. Честерфилд сказал, что о безобразии и красоте спорят не более трех недель; но к лицу нашего знаменитого товарища можно было привыкнуть еще скорее: на лекциях с первых слов он приходил в такое одушевление, которое во всех возбуждало и почтение и удивление.

Когда проницательный взор Монжа, на самых отдаленных скамьях амфитеатра, усматривал ученика, начинавшего приходить в уныние или от трудности предмета, или от лености; тогда он тотчас принимался повторять свои доказательства, применяя в них и слова, и порядок. Если, несмотря на то, усилия его оставались без успеха, он оканчивал общую лекцию, пробирался сквозь толпу слушателей, садился подле озаботившего его ученика, начинал новую лекцию частную и всегда начинал следующими словами: «Я, мой друг, начну повторение с того места, с которого ты перестал меня понимать».

Я часто слышу, что успехи Монжа в преподавании начертательной геометрии приписывают его несравненному искусству ясно представлять жестами поверхности и плоскости, о которых он рассуждал в своих доказательствах: это сущая правда; сам Монж считал свое искусство необходимым пособием для своих лекций. В 1809 г., начиная последнюю лекцию в Политехнической школе, он сказал: «Я, друзья мои, принужден оставить вас и навсегда отказаться от профессорства, потому что мои руки устарели и не повинуются мне согласно с мои-ми намерениями». Но нельзя также забывать, что глубокое уважение и полное внимание своих слушателей во всех школах он приобрел не одним усердием и ловкостью в преподавании; слушатели не могли быть равнодушными к урокам профессора, который украшал академию, который всегда преподавал свои собственные открытия, преподавал просто, без тщеславия, и который часто, под влиянием вдохновения, оставлял путь, предварительно им начертанный в кабинете, и следовал мгновенно родившимся идеям, освещавшим самые трудные части вопроса. Одним словом: Монж часто думал вслух.

Когда юношество, жаждущее познаний, слушает профессора гениального, одушевленного энтузиазмом к своей науке, тогда успехи зависят не от одного искусства преподавания и ясности изложения; не нужно забывать, что существует великое различие между преподавателем, преподающим чужие идеи, и преподавателем — творцом науки.

Многие из наших молодых профессоров, предаваясь самой опасной человеческой склонности, т. е. повинуясь обманчивым внушениям лености, воображают, что вне Парижа нельзя с успехом заниматься науками. Для опровержения такого пагубного заблуждения, стоит только вспомнить, что Монж важнейшие свои открытия в высшей геометрии сделал в уединенной мезьерской школе; в ней же создал он начертательную геометрию. За шестьдесят лет от нашего времени жители Мезьера не через каждые двадцать четыре часа получали известия о происшествиях в столице. Перед моими глазами лежит письмо Монжа от 16 сентября 1776 г., в котором поздравляет он Кондорсе с избранием его в должность бессменного секретаря академии наук: об этой важной перемене Монж узнал через шесть месяцев. В наше время мы гораздо скорее получаем известия о происшествиях у наших антиподов в каком-нибудь местечке Лапландии или Исландии.

Итак, молодость Монжа сильно протестует против бездеятельности и апатии профессоров, которые леность свою стараются оправдать уединенной жизнью в провинциях.

В биографии Уата я рассказал историю разложения воды. Думаю, что я рассказал ее верно; но она возбудила горячие жалобы со стороны тех из наших соседей за Ла-Маншем, которые, будучи надуты своим благородством, укоряли меня за то, что я отнял открытие от их Кавендиша, принадлежавшего к знаменитой фамилии герцогов Девонширских, и отдал его мастеровому Уату. На нашей же стороне Ла-Манша друзья Монжа обвиняли меня за то, что я умолчал о его опытах. Но они забыли, что сам Монж описание своих опытов напечатал в «Записках академии наук на 1783 г.» со следующей оговоркой: «Я производил опыты в Мезьере, в июне и июле 1783 г., повторил их в октябре того же года, не зная, что Кавендиш, в Англии, предупредил меня многими месяцами».

Хотя эти слова неоспоримо доказывают, что ученый Кавендиш имеет право на первенство; однако же на стороне Монжа остается то преимущество, что его опыты были сделаны со всеми предосторожностями, необходимыми для точности результатов.

В Мезьере Монж отличался не одними дарованиями: его поведение и благородство чувствований были безукоризненны. Он думал и говорил, что честный человек во всяком месте и во всякое время должен считать своей обязанностью защищать всякого, кого точно оскорбляют несправедливо, на кого клевещут бесстыдно. Хотя Мезьер городок небольшой, хотя политические и общественные вопросы, волновавшие Францию более полстолетия и возбуждавшие неистовые страсти, едва были там известны; однако Монж встретился с одним случаем, заставившим его на деле доказать, что он никогда не говорил пустых слов, никогда не щеголял фразами и всегда готов был открыто стоять против низкого злословия.

В одном обществе господин, гордый своими мнимыми достоинствами и богатством, рассказывал, что прекрасная вдова Горбон де Рокруа, несмотря на все несомненные выгоды, отказалась от счастья быть его женой. Но, прибавил он, я отомстил за себя; по городу и окрестностям я распустил такие историйки, которые верно оставят ее вдовою. Монж не знал г-жи Горбон, однако же протеснился сквозь толпу гостей, окружавших клеветника, и остановился перед ним с грозным вопросом:

— Неужели вы сделали это? Неужели вы действительно очернили доброе имя слабой и невинной женщины?

— Точно, но что вам за дело?

— Ты подлец! — вскричал Монж своим звучным голосом.

Изумленные зрители ожидали, что повторится из Корнелевой трагедии; но новый Диего не счел нужным подражать благородному испанцу, не потребовал от Монжа удовлетворения и смиренно удалился из общества.

Через несколько времени Монж встретился с г-жою Горбон у ее друзей, влюбился в нее и потребовал ее руку прямо, без посредников. Прекрасная вдова не слыхала о благородном поступке Монжа, но слышала, что молодой профессор пользуется общим уважением и любовью своих учеников, тотчас согласилась бы на предложение, если бы не удерживало ее одно обстоятельство: она была вдова богатого кузнечного мастера, который оставил ей много забот о приведении в порядок счетных дел. «Не беспокойтесь, — сказал Монж, — я не такие разрешал задачи; не заботьтесь также и о моем состоянии; поверьте, что наука прокормит нас».

Это простосердечие, откровенность и несомненная склонность Монжа победили нерешительность г-жи Горбон: в 1777 г. она сделалась г-жой Монж.