Акцидентальная легкость бытия: теория свободного падения в «De Motu» Галилея

Прежде всего обратимся к ранним работам Галилея. Начнем с «De Motu», трактата, не опубликованного при жизни ученого¹ и относящегося ко времени его преподавания в Пизанском университете (1589—1592).

В этой работе, охватывающей широкий круг вопросов механики, Галилей, в частности, показал, что аристотелева трактовка свободного падения (V ~ P/ρ_ср, где P — вес тела, а ρ_ср — плотность — иногда сопротивление — среды) ведет к парадоксам и противоречиям². Однако Галилей пока ограничивается следующей констатацией: «тела, сделанные из одного и того же материала, но имеющие разные объемы, движутся с одной и той же скоростью»³. Получалось, что тела, составленные из разных материалов, т. е. тела разной плотности, будут падать с одной и той же высоты из состояния покоя с разными скоростями (точнее — с разными ускорениями), даже если их массы одинаковы. Почему Галилей так считал?

Дело в том, что, согласно одной из предложенных им в «De Motu» теорий свободного падения, опиравшейся на гидростатические аналогии и, в частности, на закон Архимеда⁴, скорость падения тела в данной среде зависит от разности его плотности и плотности среды, а именно: отношение скоростей падения тел равно отношению разностей между «тяжестями» (т. е. плотностями) движущихся тел и «тяжестями» (плотностями) сред, в которых эти тела падают⁵, т. е. в модернизированной формульной записи:

V₁/V₂ = (ρ_T,1 - ρ_ср)/(ρ_T,2 - ρ_ср) — для случая падения двух тел одинакового объема, но разной плотности в одной и той же среде (здесь ρ_T и ρ_ср — плотности тела и среды соответственно) и V_ср,1/V_ср,2 = (ρ_T - ρ_ср,1)/(ρ_T - ρ_ср,2) — для случая падения тела плотностью ρ_T в двух разных средах (V_ср,i — скорость падения тела в i-ой среде).

За этим утверждением Галилея скрыто многое и, в частности, его глубокое расхождение с Аристотелем по ряду принципиальных физических вопросов.

Начну с того, что для греческого мыслителя ничто (ούδέν) (нуль во времена Аристотеля еще не был известен греческим математикам, но средневековые перипатетики им уже пользовались) — не есть число, потому что оно не «однокачественно» с прочими числами. Согласно Эвдоксу Книдскому (409—356 гг. до н. э.), если для двух величин a и b, где a>b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая величина, взятая n раз, превзошла бы большую, т. е. nb>a, то можно сказать, что величины a и b находятся между собой в некотором отношении. Но не может быть отношения числа к ничто (к нулю), т. е. если есть a>0, то n0 не превысит a ни при каком n.

Отрицая возможность движения в пустоте, Аристотель опирался, главным образом, на две предпосылки: 1) невозможность установить отношение какого-либо числа к нулю (к ничто) и 2) пропорциональность скорости свободного падения степени разреженности среды, в которой это падение происходит (V ~ 1/ρ_ср). Поэтому свободное падение в пустоте невозможно, ибо не существует отношения скорости свободного падения в среде к его скорости в пустоте⁶. «И всегда, — разъяснял Аристотель, — чем среда, через которую [перемещается тело], бестелеснее, чем меньше оказывает препятствий и чем легче разделима, тем быстрее будет происходить перемещение. У пустоты же нет никакого отношения, в каком её превосходило бы тело, так же как и ничто не находится ни в каком отношении к числу. Ибо если четыре превышает три на единицу, два — на большее число, и единицу — еще больше, чем на два, то нет отношения, в каком оно превышает ничто; необходимо ведь, чтобы превышающее число распадалось на излишек и на превышаемое число, так что в данном случае будет превышающий излишек четыре, и больше ничего. Поэтому и линия не может превышать точку, если только она не слагается из точек. Подобным же образом и пустота не стоит ни в каком отношении к наполненной среде, а следовательно, и [движение в пустоте] к движению [в среде]. Но если через тончайшую среду [тело] проходит во столько-то времени такую-то длину, то [при движении] через пустоту [его скорость по отношению к скорости в среде] превзойдет всякое отношение»⁷. Короче, «всякое движение находится в некотором числовом отношении со всяким другим движением (так как оно существует во времени, а всякое время находится в отношении со временем, поскольку обе величины конечны), а пустота с наполненным ни в каком числовом отношении не находится»⁸. Замечу, Аристотель говорит об отношении, в котором одно число превышает другое («если четыре превышает три на единицу, два на большее число, и единицу — еще больше, чем два...» и т. д.), а не об отношении числа к числу.

Галилей в «De Motu» начинает излагать свои соображения о свободном падении (и вообще о естественных движениях) вполне в аристотелевом духе. Соответствующий раздел в «De Motu» так и называется — «О том, что тяжелые субстанции по [самой своей] природе располагаются внизу, а легкие — вверху, и почему»⁹. В этом разделе Галилей объясняет, что «поскольку движение происходит от тяжести и легкости, быстрота или медленность по необходимости должны происходить из одного источника. Т. е. из наибольшей тяжести движущегося тела происходит и большая скорость его движения, а именно — движения вниз, кое обусловлено тяжестью этого тела; а из меньшей тяжести [тела] происходит медленность того же движения»¹⁰. Короче, «естественное движение обусловлено тяжестью или легкостью [тела]»¹¹.

Но когда Галилей обращается к гидростатической аналогии и, опираясь на неё, рассматривает движение тела в среде, он приходит к выводу о том, что «если твердые тела, кои легче воды, погружены в воду, то они устремляются вверх с силой, измеряемой разностью между весом объема воды, вытесненной телом, и весом самого тела. <...>. Ясно тогда, что во всех случаях скорости восходящих движений относятся друг к другу как превышение веса одной среды над весом движущегося [в ней] тела к превышению веса другой среды над весом этого тела»¹².

В итоге, вместо аристотелевого закона свободного падения тела в среде

V ~ P / ρ_ср

Галилей предлагает иную зависимость, выражающую суть его теории свободного падения, сложившейся в 1590-х гг.:

V ~ ρ_T - ρ_ср,

откуда

V_вак/V_ср ~ ρ_T / (ρ_T - ρ_ср) (1)

(где V_вак и V_ср — скорости свободного падения в пустоте и в среде соответственно).

Таким образом, движение в пустоте с конечной скоростью оказалось возможным или, по крайней мере, не противоречащим закону (1): «тело будет двигаться в пустоте точно так же, как и в наполненном пространстве. Ибо в среде скорость движения тела зависит от разности между его весом и весом среды, через которую тело движется (из контекста ясно, что речь здесь идет о весах равных объемов, т. е. о плотностях. — И.Д.). И аналогичным образом в пустоте [скорость] движения тела будет зависеть от разности между его собственным весом и весом среды. Но если вес среды равен нулю, то разность [эта] <...> будет равна весу тела»¹³. Только в пустоте соотношение «тяжестей» (т. е. плотностей), а следовательно, и скоростей, будет «истинным и естественным (vera et naturalia)». В чем состояла важность полученных Галилеем результатов?

Во-первых, он предложил математически вполне осмысленное выражение, поскольку в случае падения тела в пустоте теперь не приходится делить плотность тела на нуль и делать отсюда вывод, что в вакууме тело падает мгновенно, с бесконечно большой скоростью. Во-вторых, он как бы «реабилитирует» нуль («ничто»), делая его пусть особым, но числом (по Галилею, 4 настолько же превышает 3, насколько 1 превышает 0). В-третьих, автор «De Motu» не только меняет статус нуля, не только по-новому связывает скорость свободного падения тела с его плотностью и с плотностью среды, но и фактически вводит понятие актуальной бесконечности в ткань физического рассуждения, ибо если пустота рассматривается как своего рода «среда», то это среда с бесконечной степенью разреженности¹⁴. Более того, «истинной и естественной» оказывается в теории Галилея именно предельная ситуация — ситуация движения тела в пустоте, т. е. в бесконечно разреженном пространстве. Движение в пустоте, т. е. в бесконечно разреженном пространстве, стало своего рода первичным объектом теории, из которого затем выпочковываются её дальнейшие выводы, заключения и проблемы. Этот статус предельного объекта (предельной ситуации) как «истинного и естественного» обрел фундаментальное значение для последующего развития науки Нового времени. Действительно, если, в соответствии с законом (1), среда изменяет движение падающего тела по сравнению с его движением в пустоте, то это означает, что в реальном мире тела никогда не движутся со своей «естественной» (т. е. не измененной воздействием среды) скоростью. Тогда оказывается, что естественные движения (и Природа в целом) в своей сущности есть нечто потенциальное, а явления видимого мира — это конечный феноменологический результат игры разнообразных сил (силы сопротивления среды, импетуса и т. д.). И хотя естественная сила¹⁵ проявляется в полной мере лишь в вакууме, её существование, как и её каузальность, имеет место всегда. Вакуум не создает ничего нового, он даже не играет роль условия актуализации потенциальных возможностей тела.

Сорок лет спустя эта мысль прозвучит в «Dialogo», в словах Сальвиати: «то, что происходит конкретно, имеет место и в абстракции»¹⁶. И потому «философ-геометр, желая проверить конкретно результаты, полученные путем абстрактных доказательств, должен сбросить помеху материи, и если он сумеет это сделать, то, уверяю вас, всё сойдется не менее точно, чем при арифметических подсчетах. Итак, ошибки заключаются не в абстрактном, не в конкретном, не в геометрии, не в физике, но в вычислителе, который не умеет правильно вычислять»¹⁷. Сказанное означает, что «помехи» не мешают чему-либо стать в соответствие с математической теорией. «Помеха материи» может быть удалена «отслаиванием» ее от явления (как грязь на сапоге), но суть явления при этом не меняется. Если же отклонение физического тела от математического обусловлено только ошибкой вычисления, то это означает, что в действительности никакого отклонения не существует, просто ученый (если угодно, вычислитель — calcolatore) «non sa fare i conti guisti», не умеет правильно вычислять, ошибочно принимая, скажем, несовершенную физическую сферу (т. е. — не сферу) за совершенную. Далее я еще вернусь к этой теме, но в несколько ином контексте.

Несколько слов следует сказать о самой концепции скорости как она изложена в «De Motu». Понимание Галилеем этой концепции вполне традиционно — из двух тел быстрее движется то, которое преодолевает данное расстояние за меньшее время¹⁸, что позволяет связать отношение скоростей двух тел с отношением времен, необходимых для прохождения одного и того же пути: если S₁ = S₂, то V₁/V₂ = t₂/t₁.

Завершая рассмотрение свободного падения, Галилей, как бы между прочим, делает довольно неожиданное заявление: «эти отношения (речь идет о законе (1) и следствиях из него. — И.Д.) не будут наблюдаться тем, кто проведет эксперимент. Ибо если мы возьмем два разных тела, кои имеют такие свойства, что первое из них должно падать вдвое быстрее второго, и если мы сбросим их с башни, то первое не достигнет земли заметно раньше — скажем, в два раза, — [чем второе]»¹⁹.

Не свидетельствуют ли эти слова о том, что у Галилея зародились некоторые сомнения в справедливости не только аристотелевого, но и им самим предложенного закона свободного падения?²⁰

Сам Галилей объясняет «ненаблюдаемость» предложенного им закона падения следующим образом. Закон этот относится к свободному падению в целом, т. е. к, так сказать, экстенсивному аспекту этого случая движения, когда скорость определялась по времени падения. Однако тела разной плотности (т. е. состоящие из разных веществ) имеют и разную «структуру» ускорения. Галилей разъясняет это обстоятельство в завершающей части «De Motu». Прежде всего он отмечает хорошо известный факт, что рассматриваемое им движение является ускоренным: «скорость естественного движение увеличивается к концу [движения]»²¹. Чем же вызвано ускорение? Если предположить, как это сделал Аристотель, что V ~ P, то тогда изменение скорости должно быть вызвано изменением веса, причем в начале движения вес тела должен быть меньше, чем в конце. Однако хорошо известно, что «естественный» вес тела (т. е. масса) при его движении, в том числе и ускоренном, не меняется, поскольку не меняются «ни объем, ни плотность тела»²². Следовательно, рассуждает Галилей, причина изменения веса может быть только внешней и не «естественной» («imminutionem illam gravitatis esse praeternaturalem et accidentariam»)²³. Замечу, что Галилей обсуждает ускорение свободного падения в терминах уменьшения веса тела в начальной точке движения по сравнению с конечной, т. е. его интересует, по какой причине вес тела, удаленного от поверхности (и, соответственно, от центра) Земли и едва начавшего свободно падать, оказывается меньшим, чем его вес по окончанию падения, т. е. на земной поверхности. Размышляя о возможных причинах такого изменения веса тела, он опирается на аналогию с метательным движением и с явлением теплопередачи, как это делали до него многие авторы: «тело движется вверх метателем до тех пор, пока оно находится в его руке и тем лишается своего веса; точно так же, как в случае другого [вида] движения, когда железо движется к теплу (т. е. нагревается. — И.Д.) до тех пор, пока оно находится в огне и лишается огнем своего холода. Движущая сила, т. е. легкость, сохраняется в камне и тогда, когда он уже не находится в контакте с движущим, также как тепло сохраняется в железе и после того, как оно вынуто из огня. Запечатленная в брошенном камне сила постепенно уменьшается, когда он уже не пребывает в контакте с метателем, так же как тепло в железе уменьшается в отсутствие огня. В итоге камень оказывается в покое и аналогичным образом железо возвращается к своему естественному холодному состоянию»²⁴.

Отсюда Галилей делает вывод — «движение, при котором камень переходит из [состояния] акцидентальной легкости (в начале движения. — И.Д.) в [состояние] тяжести (в конце движения. — И.Д.) является единым и непрерывным, как в случае перехода железа от теплого состояния к холодному»²⁵.

Таким образом, свободно падающее тело постепенно теряет запечатленную в нем извне (рукой метателя или в процессе подъема тела на ту высоту, с которой оно затем падало) легкость (levitas)²⁶, поэтому скорость падения постепенно нарастает: «[тело] <...> будет падать очень медленно в начале, затем оно будет двигаться вниз всё быстрее по мере ослабевания силы, противостоящей этому движению»²⁷.

Однако, когда Галилею потребовалось объяснить тот факт, что тела разного веса падают одинаково, он вынужден был пойти по пути выдвижения ad hoc-гипотез. Так, он предположил, что легкое тело в начале своего движения движется быстрее тяжелого, потому как в последнем «движение запечатлено сильнее в том месте, которое более сопротивляется [движению]»²⁸, т. е. в камне сила, препятствующая его падению, «запечатлена» сильнее, чем в куске пемзы. В итоге, «поскольку в начале своего движения тела, будучи замедляемы противодействующей силой, не движутся в согласии с их весами, то неудивительно, что их скорости не будут удовлетворять отношению их весов»²⁹.

Как видим, ни одна из двух рассмотренных в «De Motu» альтернативных моделей свободного падения — первая, предполагавшая прямо пропорциональную зависимость скорости от веса тела, а вторая — от его плотности (или от разности между плотностью тела и плотностью среды) — не позволяла непротиворечивым образом объяснить сам факт ускоренности такого движения. Ускорение оказывалось не сущностной, но «акцидентальной» характеристикой движения, а «для таких акцидентальных факторов не может быть дано правил, поскольку они могут проявляться бессчетным множеством способов»³⁰.

На первый взгляд, обе описанные в «De Motu» модели свободного падения давали простые математические соотношения, легко проверяемые на опыте, но для объяснения ускоренного характера движения обе модели требовали учета сложной игры сил (gravitas и levitas), и в результате сопоставлять с экспериментом было просто нечего³¹.

Кроме того, обе модели роднило то, что Галилей понимал тяжесть как причину скорости, а скорость, как правило, трактовал как расстояние, пройденное за данное время (т. е. V₁/V₂ = S₁/S₂, при t₁ = t₂),

распространяя это понимание скорости на любое движение. В результате ускорение оставалось либо «случайным фактором», либо нерешенной загадкой.

Примечания

1. Хотя Галилей решил воздержаться от его публикации, поскольку к моменту завершения рукописи пришел к новым представлениям о движении, он, тем не менее, бережно ее хранил вместе с переработанными вариантами в папке с надписью De motu antiquiora scripta mea. По мнению Р. Фредетте (Fredette R. Galileo's De Motu antiquiora // Physis. 1972. Vol. 14. P. 321—348; P. 321), Галилей сначала написал диалоговую версию «De Motu» (De Motu Dialogus), а затем еще две «обычные» (сплошным текстом). Впервые полный текст всех версий De Motu был опубликован в 1890 г. Антонио Фаваро в первом томе Le Opere di Galileo Galilei. См. также: Galilei G. On Motion and On Mechanics / Ed. and transl. by S. Drake, I.E. Drabkin. Madison: The Wisconsin University press, 1960; Drake S. Galileo's Pre-Paduan Writings...; Wallace W.A. The Dating and Significance of Galileo's Pisan Manuscripts // Nature, Experiment, and the Science: Essays on Galileo and the History of Science in Honour of Stillman Drake (Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 120) / Ed. by T.H. Levere, W.R. Shea. Dordrecht: Kluwer Acad. Press, 1990. P. 3—50. Вообще странность идеи Аристотеля о прямо пропорциональной зависимости скорости (и времени) свободного падения от веса (точнее было бы сказать — от массы, но я буду пользоваться доньютоновой терминологией) падающего тела бросается в глаза (по крайней мере, современному читателю). Действительно, пусть некое тело весом 0,1 кг свободно падает с некоторой высоты в течение 2 секунд (вполне реальная ситуация). Тогда, если принять теорию Аристотеля, падение тела весом 1 кг с той же высоты должно продолжаться 20 секунд, а 30-ти килограммового тела — 600 секунд, т. е. 10 минут, и т. д., что явно противоречит простому житейскому опыту. Конечно, у Аристотеля были свои резоны утверждать, что «любая величина огня, если ей не встретится на пути инородное препятствие, движется вверх, а [любая величина] земли — вниз, и чем больше, тем быстрее, но в том же направлении» (О небе. IV, 4, 311a, 20—23), ибо в спорах с атомистами и платониками он доказывал абсурдность двух идей: а) существования невесомых тел (О небе. IV) и б) существования пустоты (Физика. IV, 8). Но в целом аристотелевы представления о свободном падении стоят несколько обособлено в его натурфилософии и ни в Античности, ни в Средние века не были предметом пристального внимания и анализа (см.: Grant E. Motion in the void and the principle of intertia in the Middle Ages // Isis. 1964. Vol. 55. № 181. P. 265—292).

2. Галилей тогда еще не сформулировал вывод о том, что в пустоте все тела, независимо от их веса, будут падать одинаково, хотя его рассуждения, казалось бы, подталкивали к такому заключению. Подр. см.: Damerow P., Freudenthal G. McLaughlin P., Renn J. Exploring the Limits... P. 132—134. Глава 3 («Proofs and Paradoxes: Free Fall and Projective Motion in Galileo's Physics»; p. 126—268) написана Ю. Ренном.

3. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 269.

4. Согласно архимедовой гидростатике, поведение тела в жидкости (будет ли оно, к примеру, плавать или погружаться в жидкость) определяется соотношением средней плотности тела и плотности жидкости. На законе Архимеда основан, как известно, экспериментальный метод определения плотности различных тел с помощью гидростатических весов. Выводы Галилея в «De Motu», касающиеся закона свободного падения, прямо основаны на гидростатике Архимеда.

5. «...Celeritas ad celeritatem <...> se habet <...> sicut excessus gravitatis mobilis super hums medii gravitatem vel excessus gravitatis eiusdem mobilis super alterius medii gravitatem» (Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 269).

6. Напомню, что, согласно Аристотелю, «не существует пустоты ни в отдельности (ни вообще, ни в редком), ни в возможности» (Физика. IV, 8, 217b, 20—21), ибо «ни один [предмет] не может двигаться, если имеется пустота» (Там же. 214b, 30—35). (См. подр.: Физика. IV, 6—9).

7. Аристотель. Физика. IV, 8, 215b, 10—23.

8. Там же. 8, 216a, 8—11.

9. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 252.

10. Ibid. P. 261.

11. Ibid. P. 253.

12. Ibid. P. 269—270.

13. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 281.

14. Напомню, что одним из кардинальных тезисов научной программы Аристотеля был следующий: бесконечное существует потенциально, но не актуально (см. подр.: Гайденко П.П. Эволюция понятия науки... С. 309—325).

15. Для Галилея в De Motu — это inclinatio тела к его естественному месту, но в данном контексте природа силы, обусловливающей свободное падение, не так важна.

16. Галилей Г. Диалог... С. 307.

17. Там же.

18. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 277. В «Le Meccaniche», небольшом трактате, написанном Галилеем, по-видимому, во время его работы в Падуанском университете (1592—1610), — его часто датируют 1600 г. или несколько ранее, — утверждается, что «время [перемещения] сводится к тому же, что и скорость, быстрота (velocita) движения, ибо из двух движений за более быстрое принимается то, при котором то же расстояние проходится за меньшее время» (Галилей Г. Механика // Галилей Г. Избр. труды: В 2-х т. М.: Наука, 1964. Т. II. С. 5—38; С. 8; Galilei G. Le Opere. Vol. II. P. 156).

19. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 273. См. также: Settle Th.B. Galileo and Early Experimentation // Springs of Scientific Creativity / Ed. by R. Aris, H.T. Davis. Wisconsin: The University of Minnesota Press, 1983. P. 3—20.

20. Я здесь оставляю в стороне вопрос о том, была ли упомянутая в приведенной выше цитате башня Пизанской. По свидетельству В. Вивиани (V. Viviani; 1622—1703), ученика и помощника Галилея в последние годы жизни ученого (1639—1642), написавшего по просьбе Леопольда Тосканского «Исторический очерк жизни синьора Галилео Галилея» (1654), «в это время (т. е. в пизанский период. — И.Д.), прейдя к убеждению, что для исследований Природы необходимо познание истинной природы движения, в соответствии с общераспространенной философской аксиомой — ignoratur motu, ignoratur natura (имеется в виду начало третьей книги «Физики» Аристотеля: "Так как природа есть начало движения и изменения, а предмет нашего исследования — природа, то нельзя оставлять невыясненным, что такое движение: ведь незнание движения необходимо влечет за собой незнание природы" (Физика. III, 1, 200в, 12—16. — И.Д.), Галилей целиком отдался размышлениям, и, к великому смущению всех философов, им была показана, посредством опытов, солидных доказательств и рассуждений, ложность множества заключений Аристотеля, касающихся движения, считавшихся до этого совершенно очевидными и несомненными. Сюда относится положение, согласно которому движущиеся тела, состоящие из одного и того же вещества, но имеющие разный вес, находясь в одной и той же среде, не обладают скоростями, пропорциональными их весу, как полагал Аристотель, но все движутся с одинаковой скоростью. Это он доказывал неоднократными экспериментами (esperienze), производившимися с высоты Пизанской башни, в присутствии лекторов, философов и всей ученой братии (di tutta la scolaresca). Он показал также, что скорость одного и того же тела, движущегося в различных средах, обратно пропорциональна сопротивлениям или плотностям этих сред, исходя из совершенно явных несуразностей, которые вытекают из противоположного предположения» (Galilei G. Le Opere. Vol. XIX. P. 606). В литературе не прекращается давний спор о том, легенда или правда то, что Галилей бросал различные предметы с Пизанской башни (см.: Drake S. Galileo at Work... P. 19—21; Segre M. Galileo, Viviani and the Tower of Pisa // Studies in History and Philosophy of Science. 1989. Vol. 20. № 4. P. 435—451). Но в любом случае ясно, что точность таких experienze невысока, т. к. тело, брошенное с высоты Пизанской башни, падает около 3 секунд, а время падения фиксировалось по биению пульса, т. е. очень неточно.

21. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 315.

22. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 318.

23. Ibid.

24. Ibid. P. 310.

25. Ibid. P. 327.

26. Ибо скорость падения прямо пропорциональна тяжести, а замедление — легкости тела («velocitatem et tarditatem, gravitatem et levitatem sequi» (Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 318)).

27. Ibid. P. 322.

28. Ibid. P. 310.

29. Ibid. P. 333.

30. Ibid. P. 302.

31. Galilei G. Le Opere. Vol. I. P. 273.