В.А. Бронштэн

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ

* Предисловие * Глава 1 — Место и время действия * Глава 2 — Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха * Глава 3 — Астрономические исследования Гиппарха * Глава 4 — Краткое содержание «Альмагеста» * Глава 5 — Мировоззрение Птолемея * Глава 6 — Небесная сфера: расчеты и измерения * Глава 7 — Теория движения Солнца * Глава 8 — Теория движения Луны * Глава 9 — Звездный каталог * Глава 10 — Теория движения планет * Глава 11 — «Преступление Клавдия Птолемея» * Глава 12 — Работы Птолемея в области географии * Глава 13 — Работы Птолемея в области оптики * Глава 14 — Математика и музыка * Глава 15 — Птолемей и астрология * Глава 16 — Судьба «Альмагеста» * Глава 17 — От эпициклов Птолемея к законам Кеплера * Птолемеи и Коперник (послесловие редактора) * Литература *

Глава 10

Теория движения планет

Вот мы и подошли к планетной теории Птолемея, к его знаменитой «системе мира». Теория движения планет охватывает книги IX—XIII «Альмагеста». Излагать ее в полном объеме мы здесь не будем, ибо это заняло бы слишком много места. К тому же Птолемей для объяснения движения пяти планет вынужден был разработать три разные теории: одну для Меркурия, другую для Венеры и третью для внешних планет — Марса, Юпитера и Сатурна.

Основные свойства планетных движений, деферентов и эпициклов в системе Птолемея таковы (рис. 24).

1. Земля, центры эпициклов Меркурия и Венеры и Солнце всегда лежат на одной прямой. Следовательно, период обращения центров эпициклов Меркурия и Венеры вокруг Земли равен в точности одному году.

2. Периоды обращения Меркурия и Венеры по эпициклам различны; они меньше года и составляют соответственно для Меркурия 88 сут, для Венеры 225 сут.

3. Центры эпициклов Марса, Юпитера и Сатурна обращаются по своим деферентам за различные промежутки времени: от 687 сут для Марса до почти 30 лет у Сатурна.

4. Марс, Юпитер и Сатурн обращаются по эпициклам ровно за один год.

5. Плоскости деферентов Меркурия и Венеры совпадают с плоскостью эклиптики; плоскости эпициклов Марса, Юпитера и Сатурна параллельны плоскости эклиптики.

6. Плоскости эпициклов Меркурия и Венеры, деферентов Марса, Юпитера и Сатурна наклонены к плоскости эклиптики на малые углы (не более 7° в случае Меркурия).

7. Радиусы эпициклов Марса, Юпитера и Сатурна, соединяющие центр эпицикла с планетой, всегда параллельны направлению Земля — Солнце.

Эти свойства ясно показывают, что, во-первых, условия движения нижних и верхних планет существенно различны. Во-вторых, определяющую роль в движении и тех и других планет играет Солнце. Периоды обращения планет либо по деферентам (у нижних планет), либо по эпициклам (у верхних) равны периоду обращения Солнца, т. е. году. Ориентация деферентов нижних планет и эпициклов верхних связана с плоскостью эклиптики.

Тщательный анализ этих свойств планетных движений привел бы Птолемея к простому выводу, что Солнце, а не Земля — центр планетной системы. К тому же еще Аристарх Самосский доказал, что Солнце в несколько раз больше Земли. Было бы естественнее, если бы меньшее тело двигалось вокруг большего, а не наоборот. Из других тел Луна была еще меньше, чем Земля, и подавно меньше Солнца. Размеры планет определить прямым путем было невозможно, но было ясно, что они гораздо меньше Солнца. В самом деле, Меркурий и Венера считались более близкими к Земле, чем Солнце, но не имели видимых дисков. Не имели их и другие планеты.

И все же Птолемей нашел способ выяснить, хотя бы приблизительно, размеры планет в сравнении в Землей. Еще Гиппарх, согласно свидетельству Птолемея, говорил, что видимый диаметр Солнца в 30 раз больше, чем у наименьшей (т. е. самой слабой) звезды. В этом рассуждении есть доля истины. Ведь угол в одну минуту дуги (¹/₃₀ видимого диаметра Солнца) — это как раз предел разрешающей способности человеческого глаза. Источники света с меньшими угловыми диаметрами представляются нашему глазу точками. В то же время известно, что более яркие звезды кажутся крупнее. Вот почему Птолемей в своем сочинении «Планетные гипотезы», написанном после «Альмагеста», оценивает видимый диаметр Венеры в ¹/₁₀ солнечного, Юпитера — в ¹/₁₂, Марса — в ¹/₂₀, Меркурия — в ¹/₁₅, Сатурна — в ¹/₁₈. Эти видимые размеры отнесены к средним расстояниям планет от Земли [106]. Расстояния Птолемей оценил по своей модели с деферентами и эпициклами, исходя из условия, что кратчайшее расстояние более дальней планеты (радиус ее «внутренней сферы») равно наибольшему расстоянию более близкой планеты (радиусу ее «внешней сферы»). Эти расстояния (табл. 4), вычисленные Птолемеем по своей модели, приведены в «Планетных гипотезах» (в «Альмагесте» их нет).

Табл. 4 дает богатую пищу для размышлений. Птолемей знал величину земного радиуса в линейных единицах (стадиях) хотя бы по измерениям Эратосфена. Полученное им среднее расстояние до Луны лишь на 20% меньше действительного. Но среднее расстояние до Солнца занижено уже в 20 раз (а с ним и линейные размеры Солнца), расстояние до Юпитера —в 9 раз, до Сатурна —в 12 раз. Таким образом, масштабы нашей планетной системы были занижены Птолемеем примерно на порядок. Но даже эти оценки были большим достижением, ибо они показывали, что межпланетные расстояния намного больше любых земных масштабов.

Видимые угловые размеры планет были Птолемеем завышены в несколько раз. Так, угловой диаметр Венеры у него получался 3', тогда как на среднем от Земли расстоянии он равен 17"≈0,3' (в десять раз меньше). Для Юпитера имеем соответственно 2,5' и 0,6' (различие в четыре раза), для Сатурна— 1,7' и 0,3' (разница в шесть раз). Это преувеличение угловых размеров скомпенсировало до некоторой степени занижение расстояний, так что размеры планет у Птолемея близки к реальным. Он, так же как и мы, считал самой большой планетой (после Солнца) Юпитер, потом шел Сатурн, по они превосходили Землю по диаметру в 4,4—4,3 раза, тогда как на самом деле они больше Земли в 11 и 9 раз. Марс, по Птолемею, был чуть больше Земли (в действительности оп вдвое меньше). Для Луны получилось почти правильное соотношение, но Венеру Птолемей считал чуть меньше Луны, а Меркурий — почти в 8 раз меньше (его размеры преуменьшены в 10 раз). Тем не менее и размеры планет по порядку величины Птолемей представлял себе правильно. Согласно его расчетам это были тела, сравнимые с Землей, а некоторые даже превосходили Землю¹.

Отсюда был один шаг до признания Земли рядовой планетой, но и этого шага Птолемей не решился сделать.

В девятой книге «Альмагеста» (гл. 3) есть любопытное указание на то, что число возвращений верхней планеты к той же точке зодиака (число ее сидерических обращений) и число ее обращений по эпициклу (аномалистических) в сумме равно числу солнечных лет.

Эти числа приведены в табл. 5 [17. С. 424].

С позиций гелиоцентрической системы это соотношение можно строго доказать [35]. Пусть угловая скорость планеты на орбите за год равна ω₁, а угловая скорость Земли —ω₂. Тогда (поскольку для верхних планет ω₁ < ω₁) за год Земля обгонит планету на угол ω₂—ω₁. Число обращений планеты вокруг Солнца за время Т равно Тω₁/360°, число обращений Земли за то же время (т. е. число солнечных лет) равно Тω₂/360°, число обращений планеты относительно звезд для земного наблюдателя равно Т(Тω₂ - ω₁)/360°. Сокращая на Т/360°, мы видим, что соотношение Птолемея тождественно выполняется. Увы, сам Птолемей не дал никакого объяснения этому соотношению. А ведь правильное понимание его значения открывало путь к гелиоцентрической системе мира.

Но переход к гелиоцентрической системе был невозможен для Птолемея. Мы уже говорили в гл. 5 о его мировоззрении. Он считал Землю находящейся в центре мира, приводил ряд доводов в пользу этого взгляда и не мог от него отказаться. Такой шаг был под силу только Копернику. И только через четырнадцать веков.

Перейдем к другому любопытному соотношению, которое мы находим в книгах «Альмагеста». Речь идет об отношениях радиусов эпицикла Rэ и деферента Rд. Мы их выпишем до четвертого знака, а рядом напишем современные значения больших полуосей орбит тех же планет а или их обратных величин 1/a, выраженных в единицах соответствующих величин для Земли (табл. 6) [97].

В последнем столбце приведены расхождения между отношениями Птолемея и современными значениями в процентах. Их небольшие величины говорят сами за себя. Физический смысл табл. 6 таков: отношения радиусов эпициклов и деферентов у Птолемея отражают отношения больших полуосей орбит планет и Земли (или обратные им величины). Но Птолемей и этого, увы, не понял.

Перейдем к рассмотрению теорий движения планет, разработанных Птолемеем. Как уже говорилось, он был вынужден создать три разных теории: для верхних планет, для Венеры и для Меркурия. Пропустим Меркурий, теория которого наиболее сложна и содержит к тому же существенную ошибку, и рассмотрим схему движения Венеры.

Сначала Птолемей из наблюдений наибольших элонгации Венеры к востоку и к западу от Солнца определяет направление линии апсид ее эксцентра (являющегося одновременно деферентом). Он получил долготу апогея Венеры 55° и долготу ее перигея 235°. Затем из сравнения углов наибольших элонгации Венеры в апогее и перигее простым геометрическим построением Птолемей находит радиус эпицикла (в долях радиуса эксцентра, он же деферент) и расстояние между центрами деферента и эклиптики.

Ввиду простоты этого расчета приведем его здесь [17. С. 471—472]. Пусть окружность ABG (рис. 25) есть эксцентр (деферент) с центром в D. Земля находится в E, центр эпицикла в апогее находится в точке A, а в перигее — в точке G. Проведем касательные из Е к эпициклу в обоих положениях EZ и ЕH. Треугольники AEZ и GE H — прямоугольные, так как касательные (EZ, EH) перпендикулярны к радиусам (A Z, GH) в точке касания. Углы при точке Е нам известны из наблюдений и равны: угол GEH = 44⁴/₅°, угол AEZ = 47¹/₃°. Но радиусы эпицикла равны друг другу (AZ=GH), а кроме того, AE + EG = 2AD, причем принимается, что радиус деферента AD = 60^P. Из прямоугольных треугольников AEZ и GEH по известному острому углу находим АЕ =1,42 R_e и EG = l,36 R_e, где R_e — радиус эпицикла². Таким образом, AE/EG = 1,044 и AE + EG = =120^р, откуда расстояние между центрами ЕD = 1¹/₄^р, ED/AD = 0,02, радиус эпицикла (в долях радиуса деферента) уже был приведен выше, в табл. 6.

Но для представления движения центра эпицикла Венеры по деференту Птолемей вынужден ввести на оси апсид еще одну точку —центр равномерного движения, или точку экванта F, так что обращение центра эпицикла кажется равномерным именно из этой точки. Это можно представить себе так (рис. 26). Пусть вокруг точки экванта F описана окружность (круг экванта, или для краткости просто эквант), по которой в прямом направлении равномерно движется точка А₀, последовательно занимая положения А₁, А₂, А₃,... Им соответствуют точки на деференте D₀, D₁ D₂, D₃,..., по которому, однако, центр эпицикла движется неравномерно. Это физическое неравенство усиливается оптическим неравенством, связанным с тем, что Земля Е не совпадает ни с F, ни с центром деферента D. Птолемей из сравнения наибольших элонгации Венеры к западу и к востоку от Солнца с помощью расчета, аналогичного предыдущему, находит расстояние EF=2¹/₂^p=2ED. Называя EF простым, или полным, эксцентриситетом, Птолемей приходит, таким образом, к важному заключению о том, что эксцентриситет ED (расстояние Земля—центр деферента) равен половине полного эксцентриситета. Это заключение получило название правила биссекции эксцентриситета. Оно было применено Птолемеем не только к Венере, но и к трем верхним планетам и сыграло важную роль в дальнейшем. Его использовали в своих работах Коперник и Кеплер.

Рассмотрим, следуя Н.И. Идельсону [54], смысл этого правила с позиций современной астрономии. Мы уже сравнивали в гл. 7 формулы уравнения центра х и радиуса-вектора планеты r в долях большой полуоси а в гипотезе простого эксцентриситета. Напомним эти формулы, чтобы можно было сравнить их с теми, что соответствуют гипотезе биссекции. Итак, имеем первые члены разложения по современной теории:

Таким образом, по сравнению с гипотезой простого эксцентриситета δх уменьшилась втрое, в величине δ(r/а) исчез член e cos M, a член второго порядка относительно е уменьшился вдвое.

Птолемей применил правило биссекции и в теории движения верхних планет: Марса, Юпитера и Сатурна. Интересно, какова точность этой теории? Для оценки выберем планету Марс, у которой наибольший (среди этих четырех планет) эксцентриситет орбиты — 0,093. Для Марса оказалось δх = ±7,5', δ(r/а) = + 0,00435.

Как мы знаем, точность измерений положений звезд в то время была ±10' (одна шестая доля градуса). Очевидно, что и для планет точность была не лучше. Поэтому точность теории Птолемея устраивала и его, и многих его последователей. Но именно из этих предельных уклонений в долготах и радиус-векторах Марса выросла впоследствии, как справедливо указывает Н.И. Идельсон, теория истинного эллиптического движения планет, разработанная Кеплером.

В одиннадцатой книге Птолемей приводит таблицы, по которым следует рассчитывать положения всех пяти планет. По аргументу средней аномалии М дается уравнение центра x_о в гипотезе простого эксцентриситета и поправка к нему х—x_о для перехода к гипотезе биссекции. Сравним несколько значений этих углов, вычисленных самим Птолемеем и по точным формулам (но по теории и с параметрами Птолемея), для планеты Марс (табл. 7).

Согласие результатов говорит само за себя. А ведь для этих расчетов Птолемей не имел ничего, кроме своей таблицы хорд. Он делал расчеты шести величин (четыре остальные определяют движение планеты по эпициклу) для пяти планет, для 45 значений аргумента. Это значит, что всего для составления таблиц движения планет ему пришлось выполнить 1350 расчетов. Колоссальный труд! А ведь это еще не все: как и в книгах, посвященных теории видимого движения Солнца и Луны, Птолемей начинает изложение теории движения планет в книге IX с таблиц средних движений, приводя для каждой планеты средние смещения по долготе за год, за месяц, за сутки, за час, а затем дает таблицы на 45 18-летних циклов, на 18 лет в цикле, на 12 мес, на 30 сут. месяца и на 24 ч, а всего по 129 числам для пяти планет, т. е. 645 чисел до шестого шестидесятеричного разряда долей градуса (13— 15 цифр, в зависимости от того, будет ли число целых градусов однозначным, двузначным или трехзначным). Обратимся теперь к Меркурию. В отличие от других планет для Меркурия Птолемей вводит второй, подвижный эксцентр, центр которого обращается вокруг центра экванта по малому кругу с радиусом, равным расстоянию Земли от центра первого, неподвижного эксцентра, т. е. половине полного эксцентриситета. Это обращение происходит в па-правлении, обратном движению эпицикла. При такой комбинации центр эпицикла обращается относительно Земли и центра неподвижного эксцентра уже не по окружности, а по иной замкнутой кривой, имеющей две точки наибольшего сближения с Землей (два перигея). Птолемей не объясняет причин этого. Американский исследователь Р. Ньютон [77, 119] показал, что такое предположение вовсе не обязательно следует из наблюдений Меркурия, приводимых Птолемеем. Р. Ньютон построил обычную модель с одним неподвижным эксцентром и эпициклом, которая давала не худшее согласие с наблюдениями, чем модель Птолемея. Но у Р. Ньютона была в распоряжении ЭВМ, которой у Птолемея, увы, не было.

Как же пришел Птолемей к этой странной модели? Ведь он выполнил 16 наблюдений элонгации Меркурия, тогда как другие планеты наблюдал не более пяти раз.

Сначала Птолемей определяет направление на апогей деферента Меркурия [17. С. 449-457]. Для этого он использует наблюдения его наибольших элонгации, приведенные в табл. 8.

Здесь первые четыре наблюдения выбраны таким образом, чтобы наибольшие восточная и западная элонгации Меркурия были попарно равны. Тогда, заключает Птолемей, средние положения планеты на эпицикле (их долготы равны долготам среднего Солнца) должны быть расположены симметрично относительно апогея. Первая пара (наблюдения 1 и 2) дает среднюю точку с долготой 9°52' (созвездие Овна), вторая пара (наблюдения 3 и 4) — с долготой 190° 15' (созвездие Весов).

Чтобы разрешить неопределенность (Овен или Весы), Птолемей прибегает к старым наблюдениям. К наблюдению 5 подходящей пары нет, но он берет два наблюдения (6 и 7), такие, что наибольшая западная элонгация в наблюдении 5 имеет промежуточное значение между наибольшими восточными элонгациями в наблюдениях 6 и 7. Интерполируя между ними, он находит, что наибольшей элонгации 25°50' соответствовала бы долгота среднего Солнца 53°30'. Средняя точка между этой долготой и долготой Солнца в наблюдении 5 дает долготу направления на апогей (или ему противоположное) 5°50 (Овен).

Точно так же, не подобрав симметричного положения Меркурия наблюдению 8, Птолемей комбинирует наблюдения 9 и 10 и получает направление на апогей 186° (Весы).

То, что старые наблюдения дали долготы, на 4 меньшие, чем его собственные наблюдения, Птолемей объясняет прецессией, которая, по его мнению, составила бы за 400 лет как раз 4°. Но неопределенность (Овен или Весы?) старые наблюдения не устраняют.

Тогда Птолемей берет еще два своих наблюдения (11 и 12), сделанных как раз тогда, когда Солнце было в созвездии Весов (наблюдение 11) и в созвездии Овна (наблюдение 12). Поскольку наибольшая элонгация в первом случае значительно меньше, чем во втором, Птолемей делает окончательное заключение, что апогей Меркурия находится в созвездии Весов на долготе 190°.

Казалось бы, отсюда следует, что перигей должен быть расположен в диаметрально противоположном направлении, в созвездии Овна. Но Птолемей находит, что это не так, что есть два «перигея», в Близнецах и в Водолее. Действительно, комбинируя наблюдения 1 и 4 с почти одинаковой долготой среднего Солнца (в созвездии Водолея), Птолемей находит сумму обеих элонгации (видимый диаметр эпицикла) 47°45'. Такая же сумма получается для наблюдений 2 и 3, для которых в среднем долгота Солнца равна 70°15' (созвездие Близнецов). Для созвездия же Овна (наблюдение 12) он получает сумму элонгации только 46°30', считая (без достаточных оснований), что наибольшая западная элонгация при таком положении Солнца (которую он не наблюдал) равна наблюдавшейся им восточной.

На таких-то довольно шатких основаниях и была построена Птолемеем модель с двумя перигеями. В принципе можно представить себе форму орбиты, у которой было бы два перигея. Возьмем для примера эллипс (рис. 27), а Землю поместим не в фокусе F, а в центре эллипса О. Тогда «перигеями» для нее будут точки на концах малой оси эллипса С, D, а «апогеями» — точки на концах большой оси А, B. Будем смещать Землю от центpa O к одному из фокусов эллипса F. «Перигеи» будут смещаться вдоль эллипса в ту же сторону, занимая положения C₁, D₁, C₂, D₂ и т. д., пока не сольются в точке истинного перигея В на конце большой оси, ближайшем к фокусу F, в который придет Земля. Разумеется, такая схема с двумя перигеями возможна только на бумаге — динамически она нереальна. Но Птолемей не мог использовать эллипс, в его распоряжении были только круговые движения. Вот он и ввел второй эксцентр, комбинация которого с первым (неподвижным) эксцентром и дала ему два «перигея».

Кстати, взятие этого слова в кавычки вполне соответствует терминологии Птолемея. Он называет эти точки не перигеями, а использует для них превосходную степень от слова «перигей», что-то вроде «перигеища» или «суперперигея». Это звучит немного забавно, поскольку, если уж перигеев два, они не могут быть оба «главными».

Описанную модель Птолемея не раз критиковали, причем не только резко отрицательно относящийся к этому ученому Р. Ньютон, но и симпатизирующий Птолемею О. Гингерич [102]. Последний, в частности, упрекает Птолемея за то, что он не производил наблюдений Меркурия в месяцы, промежуточные между февралем и апрелем, апрелем и июлем, июлем и октябрем. Упрек справедливый: ведь благодаря краткости периода обращения Меркурия вокруг Солнца его синодический период (относительно Земли) равен всего 116 сут и за год можно наблюдать шесть элонгации Меркурия (по две за каждый синодический период). Конечно, не все они благоприятны для наблюдений. Особенно неудобны те из них, при которых склонение Меркурия южнее склонения Солнца, т. е. восточные (вечерние) элонгации конца лета и осени и западные (утренние) элонгации второй половины зимы и весны. В это время Меркурий заходит (восходит) почти одновременно с Солнцем и наблюдать его очень трудно. Но Птолемей наблюдал Меркурий и в этих элонгациях (наблюдения 4, 5, 8 в табл. 8).

В связи с этим нелишне здесь разоблачить получившую широкое распространение легенду о том, будто Коперник ни разу не видел Меркурий. Коперник никогда не утверждал ничего подобного. Он писал лишь, что очень трудно наблюдать и измерять положения Меркурия [63], что совершенно справедливо для широты Фромборка или Ольштыня (52—54°) в значительно большей степени, чем для широты Александрии (31°).

В двенадцатой книге «Альмагеста» исследуются попятные движения и точки стояния планет. Как показал недавно американский астроном Дж. Эванс [100], удовлетворительное описание попятных движений планет (в течение полного периода обращения планеты) как набора дуг обратного движения с определенными промежутками между ними потребовало усовершенствования теории и сыграло важную роль в ее завершении Птолемеем.

Интересно, что в случае Марса величины этих дут близ перигея и апогея планеты различались вдвое, что и привело Птолемея к идее экванта и биссекции полного эксцентриситета. Таким образом, Марс сыграл решающую роль в построении теории Птолемея, как и спустя полтора тысячелетия в построении теории Кеплера. Но у Кеплера были в распоряжении точнейшие наблюдения Тихо Браге и его собственные за 12 противостояний Марса (24 года!), а у Птолемея таких наблюдений не было.

Рассмотрев в тринадцатой книге движения планет по широте, Птолемей заканчивает на этом изложение своей теории движения планет. Заканчивает, чтобы она еще пятнадцать веков служила человечеству.

В последнее время некоторые ученые предприняли любопытную проверку точности ряда исторических теорий движения планет. Так, еще в 1975 г. трое американских ученых с помощью ЭВМ провели математический анализ нескольких систем, в том числе Птолемея и Коперника [108]. Эти системы использовались для предсказания положений Марса и Венеры на определенную дату, предвычисления квадратур, соединений и противостояний верхних планет. Наилучшей оказалась система Птолемея: положение Марса на период 870 дней на ее основе вычисляется с абсолютной ошибкой 0,7°. Предварительный анализ системы Коперника показал, что ее «предсказательная способность» ниже.

К тому же выводу пришел американский астроном и историк науки О. Гингерич [103], показавший, что по простоте и точности вычислений положений планет система Птолемея превосходила систему Коперника. При этом речь идет о системе, используемой в «Альмагесте», без дополнительных эпициклов, введенных в средние века.

О. Гингерич произвел расчеты отклонений в долготах планет, даваемых теорией Птолемея по сравнению с современной теорией [104]. Они представлены на рис. 28 — 30 для периода наблюдательской деятельности Птолемея (127—142 гг.). Наблюдения Птолемея показаны кружками. Мы видим для всех планет систематическую ошибку на 1° (связанную, как мы знаем, с использованием неверной системы долгот из-за неправильного учета прецессии) и квазипериодические ошибки, возникающие из-за неточности теории. Последние для Марса не превосходят ±1°, для Юпитера ±0,13°, для Сатурна ±0,2°, для Венеры большую часть периода ошибки не превосходят ±0,33°, но в нижних соединениях могут достигать +5,5°, для Меркурия ошибки достигают ±7°. Наблюдения Птолемея хорошо ложатся на кривые, показывая, что между ними и его теорией существенных расхождений не было. Но число этих наблюдений было слишком мало, чтобы судить (по современным меркам) о достоинствах и недостатках теории.

Теперь мы имеем все необходимые данные, чтобы судить о планетной теории Птолемея. Для своего времени (и многих последующих столетий) она удовлетворяла предъявляемым к такой теории требованиям. Методика ее разработки, подробно изложенная в «Альмагесте», сама по себе имела большое научное значение. Основные положения этой теории использовали впоследствии Коперник и Кеплер для построения своих теорий, которые положили начало современной астрономии.

Примечания

1 Метод определения размеров планет Птолемея, несмотря на все его недостатки, имеет рациональное зерно. В сущности говоря, это определение размеров планет по их блеску при известном расстоянии и заданном альбедо. Такой метод еще недавно применялся для определения размеров астероидов и малых (далеких) спутников планет. Другое дело, что Птолемей не знал истинных расстояний до планет и не умел сравнивать их блеск. Трудно сказать, понимал ли он, что планеты, как и Луна, светят отраженным светом Солнца.

2 Здесь мы несколько отошли от подлинных расчетов Птолемея, что почти не влияет на результат.