В.А. Бронштэн

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ

* Предисловие * Глава 1 — Место и время действия * Глава 2 — Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха * Глава 3 — Астрономические исследования Гиппарха * Глава 4 — Краткое содержание «Альмагеста» * Глава 5 — Мировоззрение Птолемея * Глава 6 — Небесная сфера: расчеты и измерения * Глава 7 — Теория движения Солнца * Глава 8 — Теория движения Луны * Глава 9 — Звездный каталог * Глава 10 — Теория движения планет * Глава 11 — «Преступление Клавдия Птолемея» * Глава 12 — Работы Птолемея в области географии * Глава 13 — Работы Птолемея в области оптики * Глава 14 — Математика и музыка * Глава 15 — Птолемей и астрология * Глава 16 — Судьба «Альмагеста» * Глава 17 — От эпициклов Птолемея к законам Кеплера * Птолемеи и Коперник (послесловие редактора) * Литература *

Глава 7

Теория движения Солнца

В третьей книге «Альмагеста» Птолемей развивает первую из своих теорий движения «блуждающих» светил —. теорию движения Солнца. Это — самая простая теория из всех. Солнце движется точно по эклиптике, значит, отсутствует смещение по широте. Солнце не описывает по небу петель, как планеты, значит, у него нет так называемого второго неравенства. Даже до сравнению, с Луной движение Солнца гораздо проще.

Но прежде чем строить теорию движения Солнца, Птолемей рассматривает вопрос о длительности тропического года. Здесь он приводит наблюдения солнцестояний на протяжении нескольких веков, которые собрал до него Гиппарх, и выводы, сделанные из них Гиппархом. Птолемей принимает Гиппархову длину года: 365¹/₄ - ¹/₃₀₀ сут, не пытаясь уточнить ее на основании собственных наблюдений. Мы уже рассматривали вопрос о погрешности этой величины в гл. 3, посвященной Гиппарху.

На основании принятой им длины года Птолемей вычисляет среднее суточное движение Солнца по эклиптике (по долготе) и находит, что в шестидесятеричной записи оно равно [17. С. 140]

0; 59, 8,17, 13, 12, 31°,

что соответствует в привычных нам единицах

0,98563526° = 0°59' 8,28700238".

Умножая на 365 (число дней в египетском году), он находит среднее годовое движение Солнца, или, что то же самое, приращение его долготы за один египетский год:

359; 45, 24, 45, 21, 8, 35° = 359, 75687661° = 359° 45'24,75587306".

Птолемей делает эти выкладки с потрясающей точностью: одна единица последнего разряда шестидесятеричной системы равна примерно 2*10^-11 градуса или 7*10^-8 угловой секунды. Разумеется, реальная точность его результатов гораздо ниже. Даже если бы принятая им длина тропического года (365;14,48) была точна до последней единицы второго шестидесятеричного разряда, т. е. до 7*10^-7 длины года, все расчеты имело смысл вести только с такой точностью. Но, как мы уже установили в гл. 3, принятая Птолемеем (вслед за Гиппархом) длина года была ошибочна на 0,0042 сут, или на 10^-5 года.

Зачем же ему понадобилось вычислять таблицу средних движений Солнца с высокой, по явно фиктивной точностью? Птолемей но мог не понимать этого, даже если он считал оценку Гиппарха верной. Делал он так, чтобы избежать накопления погрешностей при умножении. Ведь дальше он множит среднее годовое движение Солнца на 18, отбрасывает 17 раз по 360° и находит приращение долготы Солнца за 18-летний цикл:

355; 37, 25, 36, 20, 34, 30°,

Почему Птолемей выбрал именно 18-летний цикл? Не потому ли, что он близок к саросу — периоду повторяемости солнечных и лунных затмений, известному еще вавилонским астрономам и равному 18 годам и 10 или 11 суткам? Возможно, что играло роль и это обстоятельство. Но, по мнению Дж. Тумера, все объясняется гораздо проще [131. С. 140].

Свитки папируса, на которых писал Птолемей, имели стандартную ширину. Птолемей (как и другие ученые и писатели той эпохи) писал так, что строки располагались вдоль рулона, поэтому страницы его книги имеют стандартную высоту. Этой высоте соответствуют 45 строк в таблице с учетом места, отводимого заголовкам самой таблицы и ее столбцов. Поэтому все большие таблицы Птолемея (занимающие более одной страницы) имеют по 45 строчек.

В данном случае Птолемей расположил материал так. Сперва идут приращения долготы за 18-летние циклы (от первого до 45-го). Затем идут приращения за отдельные годы в цикле (от первого до 18-го) и за часы суток (24 строки по числу часов в сутках). Вместе эти две таблички занимают 42 строки плюс заголовки. Наконец, в третьей части таблицы даны приращения долготы по месяцам (12 месяцев —12 строк) и по дням в месяце (30 строк), а всего опять же 42 строки плюс заголовки.

Из-за такого ограничения на высоту таблиц Птолемей смог охватить только период времени в 810 лет (45 циклов по 18 лет). Таким образом, от первого года эры Набонассара (—746 г.) он не «дотянул» даже до эпохи своих наблюдений, а лишь до 64 г. н. э.

Птолемей понимал неудобство такой формы табулирования для своих современников и потомков, поэтому в своих «Справочных таблицах», созданных позднее «Альмагеста», он перешел к 25-летнему циклу, а за начало эры принял начало правления Филиппа II (преемника Александра Македонского): —323 ноября 12.

После составления таблицы среднего движения Солнца по долготе Птолемей обращается к теории первого неравенства, т. е. отклонений движения истинного Солнца от равномерного (среднего). В гл. 2, в рассказе о работах Аполлония Пергского, мы уже приводили его теорему, в которой доказывается эквивалентность (равноправность) двух моделей движения планеты: по неподвижному эксцентру и по комбинации деферент — эпицикл, причем движение планеты по эпициклу происходит с той же угловой скоростью, но в обратном направлении по сравнению с движением центра эпицикла по деференту.

Приведем краткое доказательство эквивалентности этих двух моделей (подробное математическое доказательство этого можно найти в «Альмагесте» [17. С. 141, 144-153], а также в работе Н.И. Идельсона [54]).

Пусть наблюдатель (рис. 15) находится в точке Г, которая является центром деферента ABCD. Представим себе параллелограмм TOPN, одна из сторон которого ТО жестко закреплена на радиусе деферента ТА, но ТО<ТА. Точка N всегда находится на деференте. Допустим, что в вершинах параллелограмма помещены шарниры, вокруг которых его стороны могут поворачиваться, и будем вращать сторону TN вокруг точки Т. Тогда параллелограмм будет изменять свою форму, но всегда останется параллелограммом, иначе говоря, в любом его положении NP\\TO и ТN\\ОР. Поскольку отрезок NP сохранит при этом свое направление и величину, ясно, что точка Р прочертит окружность, равную окружности деферента ABCD, но смещенную относительно нее на величину ТО. Эта окружность и называется эксцентром.

Если же отложить положения точки Р относительно точки N, то нетрудно убедиться в том, что Р опишет вокруг N небольшую окружность радиусом NP, причем угол ее поворота на этой окружности P₀NP равен углу ATN, на который центр эпицикла сместился от своего начального положения А. Окружность Р₀Р и есть эпицикл.

Как уже говорилось в гл. 2, первым эту теорему доказал Аполлоний Пергский, живший за 350 лет до Птолемея; затем ее использовал Гиппарх при построении своей теории движения Солнца. Оригинальные работы этих ученых не дошли до нас, и мы узнали о них только через «Альмагест» Птолемея. Приводя доказательство теоремы Аполлония, Птолемей не сообщает, взято ли оно у Аполлония или разработано им самим. Но, как и во всех других местах, доказательство построено безукоризненно.

Основы своей солнечной теории Птолемеи заимствовал у Гиппарха. Он использовал и выведенную Гиппархом среднюю длительность года, и найденный последним эксцентриситет орбиты Солнца (фактически — орбиты Земли), и даже долготу перигея солнечной орбиты. В гл. 3 мы приводили эти величины. Там же мы обратили внимание читателя на то, что Птолемей не потрудился проверить долготу перигея Солнца, найденную Гиппархом, и принял ее постоянной, тогда как в действительности она возрастает примерно на 1°43' в столетие, и за 300 лет, отделяющих эпоху Птолемея от эпохи Гиппарха, долгота перигея должна была увеличиться на 5°.

Такой упрек уже не раз адресовали Птолемею комментаторы «Альмагеста», например К. Манициус, автор немецкого перевода этой книги [14. Т. 1. С. 428—429]. Но этот упрек оказался незаслуженным. Вспомним, как определял долготу перигея Солнца Гиппарх. Он сравнивал длительность четырех времен года, причем измерять их Гиппарх и Птолемей могли лишь с точностью до ¹/₄ сут.

В эпоху Гиппарха Солнце проходило через перигей 27 ноября, в эпоху Птолемея — 2 декабря (на 5 сут позже), в наше время Солнце ближе всего к Земле 3 января. Перемещение перигея на 5° в прямом направлении должно было привести к некоторому увеличению длительности осени и лета и к сокращению длительности зимы и весны. На сколько? Расчеты по точным формулам (они приведены у Н.И. Идельсона [54]) показывают, что длительности сезонов между эпохами Гиппарха и Птолемея должны были измениться... на ¹/₄ сут. Но ведь именно такой (и даже большей) была погрешность определений моментов равноденствий и солнцестояний у обоих наблюдателей.

Чтобы выявить смещение перигея Солнца, Птолемей должен был не только повысить точность своих собственных определений моментов равноденствий и солнцестояний хотя бы до ±2 ч (это в принципе было возможно), но и иметь в распоряжении столь же точные наблюдения Гиппарха (а это было вообще невозможно). Поэтому не следует винить Птолемея в том, что он не заметил смещения перигея — он и не мог его заметить. Напротив, получив длины сезонов почти такими же, как и Гиппарх, он с легким сердцем сделал вывод, что перигей Солнца не смещается.

Только аль-Баттани (850—929), имея в распоряжении наблюдения, сделанные на десять с лишним столетий после Гиппарха, когда длительность сезонов заметно изменилась, смог вычислить смещение перигея Солнца. К тому времени оно достигло 16°.

Эти обстоятельства (недостаточная точность наблюдений Гиппарха и Птолемея) были выяснены более 40 лет назад бельгийским историком науки А. Ромом [126], затем на него указали голландские исследователи В. Петерсен и О. Шмидт [121]. (Однако наш расчет был выполнен совершенно независимо и другим методом, чем у них). Авторы указанных работ показали, что ошибка в определении момента солнцестояния или равноденствия всего на 1 ч (!) привела бы к погрешности в определении положения перигея на 1°. Но точность в 1 ч была недоступна ни Гиппарху, ни Птолемею.

Птолемей вычисляет из чисто геометрических соображений, основанных на определениях длительности сезонов, эксцентриситет орбиты Солнца [17. С. 155-157]. Он получает в единицах, где радиус эксцентра равен 60^р, расстояние от Земли до центра эксцентра 2; 29¹/₂^р. Этой величине соответствует эксцентриситет орбиты 0,04153, что мало отличается от величины, полученной Гиппархом, 0,04167. Величину максимального уравнения центра x_max (см.. с. 32). Птолемей получил равной 2° 23' (как и Гиппарх).

Здесь нам надо отвлечься на время от расчетов Птолемея и попробовать сравнить теорию движения Солнца Гиппарха—Птолемея с современной теорией движения Земли вокруг Солнца по эллиптической орбите [54]. На основании последней уравнение центра х и расстояние Земли от Солнца r можно следующим образом представить в виде разложения в ряд по степеням эксцентриситета е:

Здесь мы берем отношение r/а, где а — большая полуось эллипса, угол М есть средняя аномалия планеты, т. е. угол, растущий пропорционально времени и принимающий значения М = 0° в афелии и М = 180° в перигелии. В разложении удержаны члены порядка е и е² и отброшены, члены с высшими степенями е.

Запишем теперь те же величины по Птолемею, но эксцентриситет, обозначим (по причинам, которые вскоре станут ясны) буквой ε:

Здесь под а будем подразумевать радиус эксцентра, угол М=0° в апогее и М =180° в перигее.

Сравнивая обе группы формул, мы найдем, что члены порядка е в разложении для х совпадут, если положить ε = 2е. Тогда мы будем иметь в гипотезе простого эксцентриситета

Таким образом, в этой гипотезе разность выражений для х по теориям Кеплера и Птолемея составит ³/₄е² sin 2M, что при М = 45° и е = ε/2 = 0,02076 может дать максимальную ошибку¹ в долготе в 3,23 * 10^-4 радиана или 67".

Различие в оценке относительного радиуса окажется больше, а именно

При М=0° или М=180° Δ (r/а) = e =0,021.

Как известно, теория эллипса дает следующие расстояния от Земли до Солнца в перигелии и афелии:

тогда как по теории Гиппарха—Птолемея получалось

Если бы Птолемей мог измерять видимый диаметр солнечного диска, он заметил бы, что солнечный диаметр изменяется от перигея до апогея на 4%, а не на 8%, как должно было получаться по его теории².

Но античные наблюдатели интересовались лишь видимыми положениями светил на небесной сфере, а не их расстояниями от Земли, поэтому теория Гиппарха для Солнца вполне устраивала Птолемея, поскольку давала более чем достаточную точность.

Птолемей приводит таблицу аномалий движения Солнца [17. С. 167], т. е. величины х в функции угла М при его изменении от 0 до 360°. Максимальное значение этой величины у него, как мы уже говорили, равно 2°23' (по Гиппарху).

Последний вопрос, который рассматривает Птолемей в книге III «Альмагеста», это вопрос о неравенстве длительности суток [17. С. 169—172].

Птолемей правильно указывает две причины, влияющие на изменение длительности суток (считая от полудня до полудня) в течение года. Одна из них — это только что рассмотренное первое неравенство, вызываемое эксцентриситетом круговой орбиты Солнца. Вторая причина — изменение моментов прохождения Солнца через меридиан из-за наклона эклиптики к экватору. Даже при равномерном перемещении Солнца по эклиптике сутки были бы неравны между собой, потому что вблизи равноденствий дуге эклиптики в 1° соответствует дуга экватора в 1° cos ε (где ε = 23°51' — наклон эклиптики к экватору), равная 55', тогда как вблизи солнцестояний той же дуге соответствует дуга экватора в 66' (из-за расхождения кругов склонения от полюса к экватору). Нетрудно подсчитать, что в первом случае сутки будут на 44 с короче, чем во втором. Накопление этих разностей приводит к смещению момента истинного полудня относительно среднего. Их разность называется уравнением времени.

Уравнение времени складывается из двух составляющих (рис. 16): уравнения от наклона эклиптики, график которого имеет вид синусоиды с двумя максимумами и двумя минимумами (в дни равноденствий и солнцестояний оно равно нулю), и уравнения от эксцентриситета, выражаемого синусоидой с одним максимумом и одним минимумом (в дни прохождения Солнца через перигей и апогей оно равно нулю). Суммарная кривая, отражающая оба эффекта, имеет более сложный вид: с двумя неравными максимумами и двумя минимумами. На рис. 16 изображен современный график уравнения времени и обеих его составляющих. В эпоху Птолемея этот график имел несколько иной вид все из-за того же смещения солнечного перигея и апогея. Как уже говорилось, Солнце тогда проходило эти точки примерно на месяц раньше, чем в наши дни. Поэтому кривую уравнения от эксцентриситета следует сместить на один месяц влево.

Как видно из рис. 16, амплитуда уравнения от наклона эклиптики составляет ±10 мин, уравнения от эксцентриситета — ⁺⁷_-10 мин, она несимметрична относительно нуля из-за особенностей движения по эллипсу. (Как известно, в перигелии Земля движется быстрее и находится ближе к Солнцу, ту же дугу в области перигелия она проходит быстрее). Наибольшего значения —16 мин 23 с — уравнение времени достигает 3 ноября.

Во времена Птолемея не умели чертить графиков, подобных изображенному на рис. 16. В геометрических построениях пользовались только циркулем и линейкой: Птолемей мог вычислить таблицу уравнения времени на каждый день года. Но он не сделал этого. Зато он дал подробные указания к вычислению этой величины, а также (с ее учетом) долготы истинного Солнца на любой день любого года.

Птолемей ввел ряд важных понятий, используемых в астрономии и поныне. К ним относятся и понятие среднего Солнца, и среднего суточного движения, и понятие средней долготы, и уравнение времени. Так что не следует с его именем связывать одни эпициклы, как это делают некоторые авторы популярных книг, преподаватели или лекторы.

Примечания

1 Здесь и далее у нас будут фигурировать иные оценки ошибок в долготе и радиусе-векторе, чем у Н.И. Идельсона [54], потому что он использовал современное значение е, а мы — его значение в эпоху Птолемея.

2 В наше время это изменение составляет лишь 3,4% из-за векового уменьшения эксцентриситета орбиты Земли.