В.А. Бронштэн

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ

* Предисловие * Глава 1 — Место и время действия * Глава 2 — Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха * Глава 3 — Астрономические исследования Гиппарха * Глава 4 — Краткое содержание «Альмагеста» * Глава 5 — Мировоззрение Птолемея * Глава 6 — Небесная сфера: расчеты и измерения * Глава 7 — Теория движения Солнца * Глава 8 — Теория движения Луны * Глава 9 — Звездный каталог * Глава 10 — Теория движения планет * Глава 11 — «Преступление Клавдия Птолемея» * Глава 12 — Работы Птолемея в области географии * Глава 13 — Работы Птолемея в области оптики * Глава 14 — Математика и музыка * Глава 15 — Птолемей и астрология * Глава 16 — Судьба «Альмагеста» * Глава 17 — От эпициклов Птолемея к законам Кеплера * Птолемеи и Коперник (послесловие редактора) * Литература *

Глава 14

Математика и музыка

Еще один трактат Птолемей посвятил... теории музыки, точнее, гармонии. Он называется «Гармоники», что означает гармонические соотношения, представляющие собой фактическое выявление принципа или идеи, называемой гармонией.

Что же заставило Клавдия Птолемея заняться вдруг столь, казалось бы, далекой от его основных интересов областью знания — музыкальной гармонией? Для того чтобы яснее попять это, обратимся мысленно в глубь веков, к взглядам Пифагора и пифагорейцев.

По представлениям Пифагора и его школы, в мире должна царить гармония, проявляющаяся во всем: в строгости математических соотношений, в совершенстве движений небесных тел, а в музыке — в гармонических соотношениях частот (тонов) звучаний музыкальных инструментов. Именно Пифагор заложил основы математической теории музыки [91].

Согласно этой теории, благозвучные сочетания или чередования звуков должны соответствовать отношениям частот 2:1 (этот частотный интервал называется октавой), или 3:2 (чистая квинта), или 4:3 (кварта), короче говоря, отношению двух соседних целых чисел натурального ряда [44]. Такой музыкальный строй называется точным в отличие от принятого в настоящее время темперированного строя (иначе говоря, выровненного, сглаженного). В темперированном строе октава делится на 12 полутонов, так что частотному интервалу в один полутон соответствует отношение частот ¹²√2 ≈1,06.

В пифагоровом строе каждый звук может быть получен от заданного (основного) звука путем целого числа квинтовых и октавных шагов (октавные шаги применяются для возвращения звуков, полученных квинтовыми шагами, в пределы нужной октавы). Рассмотрим этот порядок на примере. Пусть основной звук имеет частоту 1. Первый квинтовый шаг дает нам частоту 3/2. Следующий—дает нам 9/4, по так как это число больше двух, возвращаемся на один октавный шаг вниз и получаем частоту 9/8 (большая секунда). Делаем третий квинтовый шаг и получаем 27/16. Четвертый квинтовый шаг дает нам 81/32, откуда вторым октавным шагом приходим к частоте 81/64 (большая терция). Мы получили пятизвучие (пентатонику), которая и сейчас проявляется в музыке некоторых восточных народов. Она выражается следующим числовым рядом:

1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16,

в котором первый, второй и четвертый интервалы равны секунде (9/8) и только третий интервал равен 32/27. Будем называть интервал в одну секунду тоном, тогда интервал 32/27 близок к полутора тонам.

В пифагоровом строе интервал в одну большую терцию не считался благозвучным, так как он не выражался отношением двух соседних чисел натурального ряда [52]. Тон делился на два неравных полутона: большой (2187/2048) и малый (256/243). (Перемножив эти числа, в которых числители и знаменатели — степени двух и трех, получим 9/8.)

Против такой излишней математизации музыкального строя выступил один из учеников Аристотеля — Аристоксен из Тарента (середина IV в. до н. э.). Философ, историк и музыкант, он внес в пифагорейское учение много нового, так что эта форма пифагорейства стала называться неопифагорейством. В частности, в музыке Аристоксен настаивал па приближении ее к запросам публики. Музыка должна быть приятной для слуха, и тогда она благозвучна. Аристоксен ввел так называемый чистый строй, отличающийся от пифагорова тем, что он основан на использовании трех интервалов: октавы, чистой квинты и большой терции, которую Аристоксен «подправил», заменив в числителе 81 на 80 и получив после сокращения 5/4, что и с формально-пифагорейских позиций делало ее благозвучным интервалом.

Нелишне будет привести здесь следующее высказывание Цицерона об Аристоксене: «Аристоксен, музыкант и философ, утверждал, что душа есть некоторое (внутреннее) напряжение, подобное тому, что называют гармонией в пении и игре на струнных инструментах...». Таким образом, Аристоксен утверждал не только то, что душа есть гармония, но он считал ее телесной гармонией. «Кто таков этот Аристоксен, который отрицает какую бы то ни было душу вообще, даже в живом теле? — восклицает христианский писатель конца III—начала IV в. п. э. Лактанций. — Но как в струнном инструменте от натяжения струи возникает согласное звучание, так в телах по причине соединения тканей и жизненной силы членов существует способность чувствовать» [33].

Мы остановились так подробно на некоторых воззрениях Аристоксена потому, что он был прямым предшественником Птолемея в его взглядах на гармонию и на ее связь с математикой.

«Гармоники» Птолемея состоят из трех книг. Первые две из них посвящены теоретическим соображениям о чисто музыкальных явлениях, о законах консонирующих тональных сочетаний и о звучании музыкальных инструментов. Третья книга излагает учение о гармонии, причем не только в музыке. Птолемей переносит принципы гармонии на небесные тела, полагая, что в расположении небесных тел, в закономерности их расстояний от Земли проявляются те же гармонические соотношения, что и в музыке.

Птолемей жил и творил в атмосфере, насыщенной неопифагорейскими идеями. Вместе с тем он поставил себе целью преодолеть противоположность между взглядами тех, кто доверяет «только ушам» (т. е. слуху), и тех, кто основывается «только на разуме» (т. е. на математических соотношениях). Если в «Альмагесте» Птолемей последовательно придерживался философии Аристотеля, то в «Гармониках» он становится все более эклектичным. Напомним читателям, что эклектизм — направление в философии, возникшее в I в. до н. э., стремившееся объединить элементы различных философских учении [33]. Время жизни и деятельности Птолемея совпадает с эпохой наивысшего развития эклектизма. Неудивительно поэтому, что Птолемей, подпав под его влияние, стремился в своих «Гармониках» объединить разнородные взгляды на музыку и гармонию.

Не следует удивляться и тому обстоятельству, что философские учения столь глубоко проникали в, казалось бы, такое практическое занятие, как музыка. Музыка — это вид искусства, а философские идеи находили свое отражение в любом виде искусства или науки. Теория музыки в те времена вообще относилась к области чистой философии. «Музыкант — это тот, кто совершенен в рассуждении», — писал известный римский философ Боэций (480—524), последователь и продолжатель идей Птолемея в области гармонии [65].

Идея о связи между гармонией музыкальной и гармонией мироздания ярко выражена в следующих словах выдающегося византийского философа Григория Нисского (ок. 335—394): «...порядок мироздания есть некая музыкальная гармония, в великом многообразии своих проявлений подчиненная некоторому строю и ритму, приведенная в согласие сама с собой, себе самой созвучная и никогда не выходящая из этой созвучности, нимало не нарушаемой многообразными различиями между отдельными частями мироздания» [65].

Эта «музыка сфер» (термин, приписываемый самому Пифагору) проходит в истории науки длинный путь, в 23 столетия — от первых пифагорейцев, Аристоксена, Архита к Птолемею, и далее к его продолжателю Боэцию и к ученым нового времени вплоть до Кеплера, который в своем известном труде «Мировая гармония» (1619) продолжил идеи Птолемея о соответствии расположения планет по их расстояниям от Солнца (уже на основе гелиоцентрической системы мира) музыкальным интервалам.

Кеплер еще с молодых лет интересовался трудом Птолемея. К этому времени латинский перевод «Гармоник» уже был издан в Венеции (в 1562 г.), но, по-видимому, полностью разошелся, так что покровитель Кеплера баварский меценат Иоганн Герварт прислал ему в 1600 г. рукопись на греческом языке [92]. Зимой 1617 г., приступая к работе над «Мировой гармонией», Кеплер писал своему другу Вакгеру фон Ваксенфельсу: «Когда, возвратись домой из поездки в Регенсбург... я оставил „Таблицы", которым и следовало подождать¹, и все свое внимание обратил на «Гармонию»: я перевел па латинский язык третью книгу «Гармоник» Птолемея и написал к ней примечания, где сравниваю свои открытия в области небесных гармоний со взглядами на этот предмет упомянутого автора» [92].

Перевод книг о гармонии Птолемея и Аристоксена, выполненный Кеплером, вместе с его примечаниями к первой из них вошел в четвертый том рукописей Кеплера, приобретенных Российской академией наук в 1773 г. Они и сейчас хранятся в Ленинградском отделении Архива АН СССР [62].

Спустя полвека после смерти Кеплера, в 1682 г., английский математик и механик Джон Валлис² предпринял в Оксфорде издание «Гармоник» Птолемея па греческом и латинском языках с соблюдением всех научных требований к такой публикации. В приложении приведен список всех известных автору публикаций рукописей труда Птолемея и их местонахождения, а также ранее вышедших изданий [8]. Оксфордское издание «Гармоник» было повторено в 1699 г. Как это ни странно, но за последовавшие два с лишним столетия этот трактат, сыгравший столь значительную роль в истории музыки, больше не переиздавался, пока в 1934 г. И. Дюринг не выпустил в Гетеборге его новое издание на немецком языке.

Примечания

1 Имеются в виду так называемые «Рудольфовы таблицы», изданные в 1627 г. и заменившие «Прусские таблицы», вычисленные и опубликованные в 1551 г. Э. Рейнгольдом и основанные на теории Коперника.

2 Валлис — это традиционная транскрипция фамилии ученого (правильнее — Уоллис).