В.А. Бронштэн

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ

* Предисловие * Глава 1 — Место и время действия * Глава 2 — Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха * Глава 3 — Астрономические исследования Гиппарха * Глава 4 — Краткое содержание «Альмагеста» * Глава 5 — Мировоззрение Птолемея * Глава 6 — Небесная сфера: расчеты и измерения * Глава 7 — Теория движения Солнца * Глава 8 — Теория движения Луны * Глава 9 — Звездный каталог * Глава 10 — Теория движения планет * Глава 11 — «Преступление Клавдия Птолемея» * Глава 12 — Работы Птолемея в области географии * Глава 13 — Работы Птолемея в области оптики * Глава 14 — Математика и музыка * Глава 15 — Птолемей и астрология * Глава 16 — Судьба «Альмагеста» * Глава 17 — От эпициклов Птолемея к законам Кеплера * Птолемеи и Коперник (послесловие редактора) * Литература *

Глава 2

Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха

Мы не предполагаем здесь давать обзор всей истории астрономии в доптолемеевскую эпоху. Такие обзоры имеются в ряде книг по истории астрономии [29, 78]. Наша задача — рассказать лишь о тех работах, которые были так или иначе использованы Птолемеем.

Наиболее старые из использованных им наблюдений были произведены в Вавилоне в конце VIII в. до н. э. В дальнейшем изложении мы будем для записи годов до нашей эры использовать астрономический, а не исторический счет годов. Их отличие состоит в следующем.

У историков первому году н. э. предшествует первый год до н. э., нулевого года нет. Такой способ счета годов неудобен для определения интервала между какими-либо событиями до и после начала эры. Поэтому астрономы ввели нулевой год (1 г. до н. э. у историков), а предшествующие ему обозначают отрицательными числами.

Таким образом, год 0 = 1 г. до н. э., год —100 = 101 г. до н. э., год —720 = 721 г. до н. э. и т. д. Теперь нетрудно подсчитать интервал в годах, например от —720 до 125 г.: он равен 845 годам.

Город Вавилон — один из древнейших городов на Земле. Он основан в третьем тысячелетии до н. э. и длительное время был столицей Вавилонского царства. Но к VIII в. до н. э. Вавилон был покорен другой мощной державой — Ассирией. Тем не менее город Вавилон сохранил свое значение как богатый торговый и культурный центр. Вавилонские жрецы, которые, собственно, и занимались астрономией, вели и записывали наблюдения редких небесных явлений: затмений Солнца и Луны, появлений комет и некоторых других небесных тел. Эти наблюдения они вели и в эпоху ассирийского владычества (от —746 до —605 г.), и в эпоху Нововавилонского царства (от —604 до —537 г.), и в эпоху, когда Вавилон стал частью Персидской монархии (от —537 до —331 г.). Именно в эти эпохи и были выполнены наблюдения лунных затмений, использованные сперва Гиппархом, а затем Птолемеем для построения теории движения Луны. Самое первое из них произошло —720 марта 19, а последнее, наблюдавшееся в Вавилоне, —381 декабря 12 [131. С. 685].

Вавилонские астрономы записывали даты наблюдений по годам царствования своих царей, например «второй год Мардокемпада, месяц фаменот, 15-е число». Птолемей был вынужден привести все эти даты к единой эре, в качестве которой он выбрал эру от начала царствования Набонассара (—746 г.), причем первым считался месяц тот по египетскому календарю (вавилонские жрецы использовали в то время египетские названия месяцев и вообще египетский календарь). Для того чтобы переводить все даты в единую эру, Птолемей составил хронологическую таблицу царствований вавилонских царей (начиная от Набонассара), персидских царей (от Кира до Дария III), Александра Македонского и египетских Птолемеев и, наконец, римских императоров от Октавиана Августа (стал императором в —29 г.) до Антонина Пия, при котором Птолемей жил и работал (начало царствования 137 г. н. э.).Эта таблица была включена Птолемеем в «Справочные таблицы», выпущенные им отдельно [9]. В реконструированном виде она приводится в английском издании «Альмагеста» под ред. Дж. Тумера, где все даты даны в современном летоисчислении [131. С. 11].

При датировке использованных им наблюдений, выполненных в Греции и в самой Александрии, Птолемею пришлось иметь дело с другими календарными системами. Он сумел привести их к единой системе, так что датировка всех наблюдений независимо от их времени и места определяется однозначно.

От вавилонских математиков и астрономов Птолемей позаимствовал шестидесятеричную систему счисления.

Эта система используется и в наши дни, правда в ограниченном виде, при счете углов и интервалов времени. Мы привыкли к тому, что час разделяется на 60 мин, а минута — на 60 с. Точно так же один градус содержит 60 мин дуги, а минута — 60 с дуги. Но мы не используем более мелких 60-х долей, а в работах Птолемея они используются и довольно широко. Секунда (времени или дуги) делится на 60 терций, терция — на 60 кварт и т. д. Такой же принцип применяется не только к единицам времени и дуги, но и к числам вообще.

Обратимся к астрономии древних греков (рис. 1). Первые работы греческих астрономов относятся к построению календаря. Около —433 г. астроном Метон ввел 19-летний цикл, получивший впоследствии название метонова цикла. Этот период содержит 6940 сут и почти в точности равен длительности 235 лунных (синодических) месяцев [78]. В самом деле, поделив 6940 на 235, получаем среднюю длительность синодического месяца:

В цикле Метона 29,531914 сут

По современным данным 29,530588 сут

Иначе говоря, точность метонова лунного месяца составляла 2 мин.

Средняя длительность года в метоновом цикле составляла 365,26316 сут, что на 19 мин длиннее введенного четырьмя столетиями позднее юлианского года (365,25 сут) и на 30 мин — действительной длительности тропического года в эпоху Метона (365,2425 сут).

Нужно сказать, что календарная система в Вавилоне и Греции была в ту эпоху очень сложной. Согласовать солнечный тропический год с лунным синодическим месяцем было очень трудно из-за их несоизмеримости. Лунный год, состоявший из 12 лунных месяцев, содержал (с округлением до целых суток) 354 сут, что было на 11 с лишним суток меньше тропического года. Поэтому в некоторые годы (примерно раз в три года) добавляли тринадцатый месяц, так что такой год содержал уже 384 сут.

Метонов цикл значительно облегчал работу по составлению календаря. Он давал простое соотношение между годом и лунным месяцем. Кроме того, по номеру года в цикле можно было легко узнать все даты в этом году, поскольку по истечении цикла они повторялись. Повторялись, как нетрудно сообразить, и лунные фазы.

Цикл Метона использовался еще в Вавилоне, так что неизвестно, заимствовал ли . его Метон у вавилонян или определил независимо. Этот цикл использовался в течение нескольких столетий.

Столетие спустя после Метона астроном Каллипп улучшил метонов цикл, объединив 4 цикла по 19 лет и отняв от итога одни сутки [78]. В каллипповом цикле 940 мес, равных в сумме 27 759 сут. Отсюда получаем длину тропического года 365,25 сут (как в юлианском календаре) и длину синодического месяца 29,530851 сут, что всего лишь на 23 с продолжительнее истинного.

Циклы Метона и Каллиппа впоследствии критически обсуждались Гиппархом, из сочинения которого «О длительности года» сведения о них позаимствовал Птолемей, в свою очередь подвергший этот вопрос критическому анализу [17. С. 139].

Астроном Эвктемон, работавший вместе с Метоном, из наблюдений равноденствий и солнцестояний обнаружил неравенство четырех времен года. Согласно Эвктемону, длительность весны равнялась 93 сут, лета — 90, осени—90, зимы —92. Каллипп спустя столетие уточнил их, получив для весны, лета, осени и зимы соответственно 94, 92, 89 и 90 сут, тогда как их истинные длительности были равны 94,1; 92,2; 88,6 и 90,4 сут [61]. Таким образом, длительности времен года у Каллиппа были верны с

точностью до полусуток (точнее, до ±0,35 сут), тогда как точность этих величин у Эвктемона составляла ±1,88 сут.

Каллипп был учеником и помощником виднейшего греческого философа IV в. до н. э. Аристотеля, автора геоцентрической системы мира, где в центре мира находится Земля, а орбиты Солнца, Луны и планет изображаются кругами. Аристотель не был математиком и не ставил себе задачей создание теории планетных движений. Он резко разделял философию на теоретическую и практическую части, отдавая преимущество первой, так называемой «чистой» философии. Быть может, именно поэтому Птолемей, астроном и математик, позаимствовавший у Аристотеля геоцентрическое мировоззрение и круговую форму орбит, упоминает его в «Альмагесте» только однажды, в самом начале своего труда, там, где речь идет о классификации наук [17. С. 35].

Много столетий спустя, когда христианская религия стала господствующей в Европе, «отцы церкви», гневно отметавшие все языческое, сделали своеобразное исключение для геоцентризма Аристотеля и системы мира Птолемея — они были официально признаны католической церковью как правильные представления о строении мира, не противоречащие Священному писанию. Но об этом еще будет идти речь впереди.

Крупнейшим после Аристотеля греческим ученым IV в. до н. э. был Евклид, чьи труды стали основой не только греческой, но и мировой математики. Его «Начала» содержат основные постулаты (аксиомы) и теоремы, на которых в значительной мере базируется вся элементарная математика вплоть до настоящего времени¹. Птолемей в своих математических построениях постоянно использует «Начала» Евклида, хотя не всегда на них ссылается. По мнению Дж. Тумера, автора и редактора новейшего английского перевода «Альмагеста», среди сочинений древнегреческих авторов «Альмагест» занимает второе место после «Начал» Евклида [131].

III в. до н. э. дал греческой науке целую плеяду замечательных ученых — математиков и астрономов. Все они жили и работали в Александрии, которая, как мы уже говорили, стала к этому времени своеобразной «научной столицей античного мира».

Астрономы-наблюдатели Аристилл и Тимохарис производили, по-видимому, первые позиционные наблюдения звезд, определяли их склонения и прямые восхождения, т. е. координаты в экваториальной системе. Положения звезд они определяли относительно некоторых постоянных точек небесной сферы. Сам факт этих измерений говорит о том, что в распоряжении Аристилла и Тимохариса были угломерные инструменты с градуированными кругами, но их описания не сохранились. А. Берри полагает, что Аристилла и Тимохариса можно считать творцами первого в Европе звездного каталога в настоящем смысле этого слова, в то время как их предшественники пытались давать лишь словесные описания положений звезд в созвездиях [12]. Кроме того, эти астрономы произвели ряд наблюдений положений планет, Солнца и Луны.

Гиппарх и Птолемей использовали эти наблюдения в первую очередь для исследования прецессии. В частности, Гиппарх сравнивал положения звезды Спики (α Девы) относительно точки осеннего равноденствия по своим наблюдениям и по наблюдениям Тимохариса и его школы. Тимохарис применял (по-видимому, впервые) следующий способ [17. С. 329]. Он наблюдал положения Спики относительно Луны во время полных лунных затмений, происходивших в марте или апреле. Во время полного лунного затмения Луна находится точно напротив Солнца. Поэтому она в этот момент занимает такое положение относительно точки осеннего равноденствия, которое симметрично положению Солнца относительно точки весеннего равноденствия. Положения же Солнца относительно равноденственных точек определялись Тимохарисом и Аристиллом с помощью так называемого экваториального кольца [17. С. 133]. Оно представляло собой невысокий бронзовый цилиндр, верхний и нижний края которого были ориентированы строго в плоскости небесного экватора. Если Солнце было чуть севернее небесного экватора, тень южной половины кольца оставляла на внутренней стороне его северной половины узкую полоску, освещенную Солнцем, близ верхнего края кольца. Если же Солнце было южнее экватора, такая полоска оставалась близ нижнего края. В дни равноденствия тень южной половины кольца точно ложилась на внутреннюю сторону северной половины, не оставляя светлой полоски.

Так, зная положения Солнца относительно равноденственных точек на каждый день года, Тимохарис п Аристилл могли определять и положения Луны во время полных лунных затмений, а значит, и положения звезд относительно этих точек.

Впоследствии Гиппарх соорудил такое же экваториальное кольцо перед храмом Родоса² и использовал его для измерения положений Солнца [78]. Он применял тот же метод определения положений звезд относительно равноденственных точек, что и Аристилл и Тимохарис, и из сравнения положений Спики в их время и в свою эпоху (интервал около 150 лет) вывел значение постоянной прецессии (см. ниже).

Птолемей приводит в «Альмагесте» таблицу положений нескольких звезд по наблюдениям Аристилла и Тимохариса, Гиппарха и своим собственным [17. С. 331— 332]. Из их сравнения он тоже нашел постоянную прецессии, правда, с большой ошибкой.

Тимохарис и его школа наблюдали также покрытия звезд Луною, определяли положения планет (его наблюдения положений Венеры использованы Птолемеем в «Альмагесте»).

В отличие от Аристилла и Тимохариса, которые были лишь усердными наблюдателями, Аристарх Самосский (310—230 г. до и. э.) не только производил те или иные наблюдения (Птолемей использовал его наблюдения моментов летних солнцестояний [17. С. 137—139]), но старайся глубже проникнуть в сущность Мироздания. Еще современник Аристотеля Гераклид Понтийский (388—315 г. до н. э.) предполагал суточное вращение Земли вокруг оси, заменяя им вращение вокруг Земли всей небесной сферы. Более того, Гераклид пытался объяснить характер видимого движения Меркурия и Венеры, не отдалявшихся на небе от Солнца более чем на 29 и 48° соответственно. Гераклид полагал, что эти планеты в действительности обращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли. Однако в системе Гераклида Земля хотя и вращается вокруг оси, но остается в центре мира: вокруг нее движутся Луна, Солнце с Меркурием и Венерой, Марс, Юпитер и Сатурн [78].

Аристарх Самосский пошел дальше своего предшественника. Он был первым, кто предложил гелиоцентрическую систему мира, поместив в центре планетной системы Солнце, а Землю поставив в один ряд с другими планетами³. За эту смелую идею Аристарх был обвинен в безбожии и изгнан из Афин [80].

До нас дошло лишь одно сочинение Аристарха, в котором он описывает свой способ определения отношения расстояний до Солнца и до Луны (а значит, и их размеров, поскольку видимые угловые размеры их почти равны). Мы не станем описывать здесь хорошо известный способ Аристарха (он описан во многих учебниках и книгах по истории астрономии) [29]. Аристарх получил отношение 19:1 вместо правильного 390:1, что показывает петочпость его способа. Он доказал лишь, что Солнце во много раз дальше и больше Луны.

Птолемей не ссылается на эту работу Аристарха. Он использует лишь одно его наблюдение летнего солнцестояния, а о геоцентрической системе упоминает, не называя ее автора. Впрочем, Птолемей тут же подвергает ее уничтожающей критике, о которой мы подробно расскажем ниже.

Замечательный математик, механик и инженер, Архимед (287—212 г. до н. э.), как и Аристарх, производил наблюдения моментов летних солнцестояний, использованных затем Гиппархом и Птолемеем. Он имел также оригинальный взгляд на расположение планет, полагая вместе с Платоном и Эратосфеном, что Меркурий и Венера расположены дальше, а не ближе Солнца [131. С. 419]. Аргументом в пользу такой точки зрения он приводил то обстоятельство, что Меркурий и Венера никогда не закрывали собой Солнце. Птолемей не согласился с этим аргументом. Более того, его теория движения Меркурия и Венеры позволяла предсказывать моменты прохождений этих планет между Землей и Солнцем. Но Птолемей понимал, что их диски весьма малы и заслонить собой Солнце они не могут [131. С. 419].

Птолемей использовал в «Альмагесте» также некоторые математические результаты Архимеда. Так, Архимед вывел следующие приближенные пределы для числа π (отношение окружности к диаметру) [17. С. 302]: от 3¹/₇ до 3¹⁰/₇₁, или, что то же самое, от 3,142857 до 3,140845. Сам Птолемей выбирает число 3; 8,30, что следует читать так: 3 плюс 8*(¹/₆₀) плюс 30*(¹/₆₀)². Это число равно 3,141667 и отличается от правильного значения (записанного с тем же числом знаков) 3,141593 на 7,4*10^-5.

Выводя свою теорему о хорде половины дуги (понятие хорды будет подробно объяснено дальше, пока же укажем, что это удвоенная линия синуса половины угла), Птолемей не сообщает, что эта теорема была доказана Архимедом за пять столетий до него. Вряд ли он не знал об этом. Скорее он считал такие результаты настолько общеизвестными, что полагал возможным не называть их авторов. Мы уже приводили выше аналогичный пример с использованием «Начал» Евклида. Впрочем, и в наше время в учебниках далеко не всегда указывают, кто впервые доказал ту или иную теорему из геометрии. Только разве теоремы Пифагора и Аполлония носят имена их авторов (из числа ученых древности).

Младший современник Архимеда, замечательный геометр, астроном и первый в мире картограф Эратосфен (276—194 г. до н. э.) впервые измерил дугу земного меридиана между Александрией и Сиеной, получив длину окружности меридиана с небывалой для того времени точностью. Это был блестящий успех античной науки. Впервые стали известны размеры земного шара [78].

Эратосфен считал, что Сиена и Александрия находятся на одном меридиане, причем он проходит также через Родос (имеется в виду город Родос, расположенный на одноименном острове). Это обстоятельство использовали в дальнейшем Гиппарх при сравнении своих наблюдений с наблюдениями Аристилла, Тимохариса и других александрийских астрономов и Птолемей, также сравнивавший свои наблюдения в Александрии с наблюдениями Гиппарха в г. Родосе [17. С. 225].

Заслугой Эратосфена в астрономии является одно из первых определений угла наклона эклиптики к экватору. Этот наклон он определял как половину разности склонений точек летнего и зимнего солнцестояний. Эратосфен нашел этот угол равным 11/83 окружности [17. С. 63], т. е. 47°42'39", откуда половина этого угла, или наклон эклиптики к экватору, равняется 23°51'20". По современным данным, наклон эклиптики к экватору в эпоху Эратосфена был равен 23°43'34". Значение Эратосфена, принятое также Гиппархом и Птолемеем, отличалось от истинного значения лишь на 8 мин дуги. Впрочем, в эпоху Птолемея наклон эклиптики к экватору уменьшился до 23°40'36", т. е. ошибка значения Эратосфена возросла до И мин дуги. Разумеется, Птолемей не мог знать о вековом изменении наклона эклиптики к экватору (в наше время этот угол составляет 23°26'28" и продолжает уменьшаться на 47" в столетие) [86]. Он указал, что по его собственным наблюдениям разность склонений точек солнцестояний заключена в пределах от 47° 40' до 47°45' и, следовательно, наклон эклиптики к экватору должен быть заключен между 23° 50' и 23° 52'30". Значение Эратосфена хорошо укладывалось в эту «вилку», и Птолемей принял его в дальнейших расчетах, не зная, что допускает при этом ошибку на 11' [17. С. 63].

На рубеже III и II вв. до н. э. жил и работал известный математик Аполлоний Пергский, известный своим капитальным трудом по теории конических сечений. Разумеется, ни сам Аполлоний, ни Птолемей, использовавший в своем «Альмагесте» некоторые леммы, доказанные Аполлонием, не могли себе представить, что конические сечения — эллипс, парабола и гипербола — это и есть действительные формы планетных орбит. Оторваться от предвзятого мнения, что небесные тела могут двигаться лишь по самым «совершенным» орбитам — окружностям, оказалось под силу только Иоганну Кеплеру полтора тысячелетия спустя.

Пока же и Аполлоний, и Гиппарх, и Птолемей использовали сложные комбинации окружностей, по которым должны были двигаться планеты. Было два варианта представления планетных движений для верхних планет (Марса, Юпитера и Сатурна): с помощью эксцентра и с помощью эпицикла.

По-видимому, теория эпициклов возникла в III в. до н. э. Первое упоминание о ней связано с именем Аполлония, но об этом мы узнали опять же через Птолемея. Аполлоний доказал теорему о том, что движение планеты по эпициклу, жестко связанному с деферентом (т. е. так поворачивающемуся по мере его обращения вокруг центра деферента, словно он жестко скреплен с радиусом последнего), если периоды обращения точки на эпицикле (планеты) и центра эпицикла но деференту равны, а движения направлены противоположно друг другу, можно заменить обращением планеты по одной окружности, эксцентричной относительно центра деферента, именно по эксцентру [17. С. 555—558]. Подробное доказательство этой теоремы и приводит Птолемей, не уточняя, принадлежит ли оно Аполлонию или Гиппарху или разработано им самим.

Аполлоний — последний по времени представитель прошедшей перед нами блестящей вереницы греческих и александрийских астрономов и математиков, труды которых заложили фундамент работам Гиппарха. Конец жизни и деятельности Аполлония примерно соответствует по времени началу жизни и работы Гиппарха. Для развития астрономии как науки Гиппарх сделал так много, его деятельность настолько многообразна, что мы посвятим ему здесь отдельную главу.

Примечания

1 Доказано, что система аксиом Евклида неполна и содержит излишние аксиомы. Однако многие из них используют и поныне.

2 Главный город и порт на острове Родос.

3 Об этих взглядах Аристарха мы узнали по рассказу его младшего современника — Архимеда, изложенному в его сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»).